WZORY VIETE'A - ZADANIA
Zadanie 1
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(\displaystyle x^2+2mx+m+6=0\) ma dwa różne pierwiastki tego samego znaku.Rozwiązanie
1) Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy \(\Delta>0\)2) Dwie liczby mają takie same znaki, gdy ich iloczyn jest dodatni \(x_1x_2>0\) Zatem \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl} \Delta >0 \\ x_1\cdot x_2> 0 \end{array} \right. \)
1. \(\Delta>0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
gdzie \(a=1,\,\,b=2m,\,\,c=m+6\)
\(\Delta=(2m)^2-4\cdot1\cdot(m+6)\)
\(\Delta=4m^2-4m-24\)
Powracamy do założenia \(\Delta>0\)
\(4m^2-4m-24>0\)
Otrzymaliśmy w ten sposób nierówność kwadratową zmiennej \(m\) którą musimy rozwiązać.
\(\Delta_m=4^2-4\cdot4\cdot(-24)=400\)
Ponownie obliczamy deltę, gdzie \(a=4,\,\,b=-4,\,\,c=-24\)
\(\sqrt{\Delta_m}=20\)
\(\displaystyle m_1=\frac{-(-4)-20}{2\cdot4}=\frac{-16}{8}=-2\)
\(m_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\displaystyle m_2=\frac{-(-4)+20}{2\cdot4}=\frac{24}{8}=3\)
\(m_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Rysujemy parabolę \(a=4>0\) zatem ramiona są skierowane do góry, zaznaczamy też miejsca zerowe na osi \(m\).
Następnie odczytujemy dla jakich \(m\) funkcja ma wartości dodatnie
\(m\in (-\infty ,-2)\cup(3,\infty )\)
Następnie odczytujemy dla jakich \(m\) funkcja ma wartości dodatnie
\(m\in (-\infty ,-2)\cup(3,\infty )\)
2. \(x_1\cdot x_2> 0\)
\(\displaystyle x_1\cdot x_2=\frac{m+6}{1}=m+6\)
Korzystamy ze wzoru Viete'a \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\) gdzie \(a=1,\,\,c=m+6\)
\(m+6>0\)
Powracamy do założenia \(x_1\cdot x_2> 0\)
\(m>-6\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest część wspólna obu warunków \(m\in (-\infty ,-2)\cup(3,\infty )\) i \(m>-6\)
Dla \(m\in (-6 ,-2)\cup(3,\infty )\) równanie \(\displaystyle x^2+2mx+m+6=0\) ma dwa różne pierwiastki jednakowych znaków.