PRAWO HOOKE'A - ZADANIA
\(\displaystyle h=0,4 \,\, m\) - wysokość nad sprężyną
\( k=1960 \,\, \frac{N}{m}\) - współczynnik sprężystości sprężyny
\( g=9,8 \,\, \frac{m}{s^2}\) - przyspieszenie ziemskie
W chwili maksymalnego ściśnięcia sprężyny ciało zatrzymuje się na ułamek sekundy. Jego energia kinetyczna jest wtedy równa zeru.
Energia potencjalna grawitacji utracona przez ciało zamienia się w energię potencjalną sprężystości zgromadzoną w sprężynie.
Ciało pokonuje drogę równą nie tylko wysokości \(\displaystyle h\), ale również dodatkowo ugina sprężynę o \(\displaystyle x\).
Całkowity spadek wysokości wynosi więc:
\[ \displaystyle h+x \]Dlatego utracona energia potencjalna grawitacji jest równa:
\[ \displaystyle E_{pg}=mg(h+x) \]Natomiast energia zgromadzona w sprężynie wynosi:
\[ \displaystyle E_{ps}=\frac{kx^2}{2} \]Korzystając z zasady zachowania energii otrzymujemy:
\[ \displaystyle mg(h+x)=\frac{kx^2}{2} \]Po przekształceniu otrzymujemy równanie kwadratowe:
\[ \displaystyle \frac{k}{2}x^2-mgx-mgh=0 \]Podstawiamy wartości:
\[ 980 x^2 - (2 \cdot 9,8) x - (2 \cdot 9,8 \cdot 0,4) = 0 \] \[ 980 x^2 - 19,6 x - 7,84 = 0 \]Podzielmy całe równanie przez \(\displaystyle 19,6\)
Otrzymujemy bardzo proste równanie:
\[ 50 x^2 - x - 0,4 = 0 \]Obliczamy deltę:
\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-0,4) = 1 + 80 = 81 \] \[ \sqrt{\Delta} = 9 \]Obliczamy pierwiastki równania:
\[ \displaystyle x_1=\frac{1+9}{100}=0,1m \] \[ \displaystyle x_2=\frac{1-9}{100}=-0,08m \]Odrzucamy rozwiązanie ujemne, ponieważ długość odkształcenia sprężyny nie może być ujemna.