PRAWO HOOKE'A - ZADANIA

Zadanie 2

Idealna nieważka sprężyna \(S\) może być ściśnięta o \(1\, \text{m}\) pod wpływem siły \(100\, \text{N}\). Ta sama sprężyna została umieszczona przy podstawie doskonale gładkiej równi pochyłej, która tworzy z poziomą podstawą kąt \(30^\circ\). Ciało o masie \(M = 10\, \text{kg}\) pozostające początkowo w spoczynku na szczycie równi, zostaje zwolnione i ześlizguje się w dół. Ciało to zatrzymuje się po ściśnięciu sprężyny o \(2\, \text{m}\).
a) Jaką odległość przebywa ślizgające się ciało do chwili zatrzymania?
b) Jaką prędkość ma to ciało bezpośrednio przed zetknięciem się ze sprężyną?

Dane i stałe

\(\displaystyle F = 100\,\,\text{N}\) - siła powodująca wstępne ściśnięcie sprężyny
\(\displaystyle x_1 = 1\,\,\text{m}\) - wstępne ściśnięcie sprężyny pod wpływem siły \(F\)
\(\displaystyle M = 10\,\,\text{kg}\) - masa ciała
\(\displaystyle \alpha = 30^\circ\) - kąt nachylenia równi pochyłej
\(\displaystyle x = 2\,\,\text{m}\) - maksymalne ściśnięcie sprężyny przez zsuwające się ciało
\(\displaystyle g = 9,81\,\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) - przyspieszenie ziemskie

Szukane

\(\displaystyle s\) - całkowita odległość przebyta przez ciało do chwili zatrzymania
\(\displaystyle v\) - prędkość ciała bezpośrednio przed zetknięciem ze sprężyną

Analiza fizyczna

W pierwszej kolejności musimy wyznaczyć współczynnik sprężystości sprężyny \(\displaystyle k\), korzystając z prawa Hooke'a:

\[ \displaystyle F = k \cdot x_1 \implies k = \frac{F}{x_1} \]

Podpunkt a)
Zgodnie z zasadą zachowania energii mechanicznej, początkowa energia potencjalna grawitacji ciała na szczycie równi zamienia się w całości w energię potencjalną sprężystości maksymalnie ściśniętej sprężyny w momencie zatrzymania.

Niech \(\displaystyle s\) oznacza całkowitą drogę pokonaną przez ciało wzdłuż równi. Z geometrii układu wynika, że wysokość pionowa \(\displaystyle h\), o jaką obniża się ciało, wynosi:

\[ \displaystyle h = s \cdot \sin(\alpha) \]

Zasada zachowania energii przyjmuje więc postać:

\[ \displaystyle Mgh = \frac{kx^2}{2} \implies Mg(s \cdot \sin(\alpha)) = \frac{kx^2}{2} \]

Podpunkt b)
Bezpośrednio przed zetknięciem ze sprężyną ciało pokonało drogę \(\displaystyle s_1 = s - x\). Wysokość pionowa, o jaką obniżyło się do tego momentu, wynosi \(\displaystyle h_1 = s_1 \cdot \sin(\alpha)\).

Na tym poziomie cała utracona energia potencjalna grawitacji zamieniła się w energię kinetyczną ciała:

\[ \displaystyle Mgh_1 = \frac{Mv^2}{2} \implies v = \sqrt{2gh_1} \]

Obliczenia

Wyznaczamy współczynnik sprężystości \(\displaystyle k\):

\[ \displaystyle k = \frac{100\,\text{N}}{1\,\text{m}} = 100\,\frac{\text{N}}{\text{m}} \]

Obliczenia do podpunktu a):

Podstawiamy dane do równania zachowania energii (pamiętając, że \(\displaystyle \sin(30^\circ) = 0,5\)):

\[ 10 \cdot 9,81 \cdot s \cdot 0,5 = \frac{100 \cdot 2^2}{2} \] \[ 49,05 \cdot s = 200 \] \[ s = \frac{200}{49,05} \approx 4,08\,\text{m} \]

Obliczenia do podpunktu b):

Obliczamy drogę \(\displaystyle s_1\) oraz wysokość \(\displaystyle h_1\) przed dotknięciem sprężyny:

\[ s_1 = 4,08\,\text{m} - 2\,\text{m} = 2,08\,\text{m} \] \[ h_1 = 2,08\,\text{m} \cdot 0,5 = 1,04\,\text{m} \]

Wyznaczamy prędkość \(\displaystyle v\):

\[ v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 1,04} = \sqrt{20,40} \approx 4,52\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \]

Odpowiedź

a) Ślizgające się ciało do chwili zatrzymania przebywa odległość \(\displaystyle s \approx 4,08\,\text{m}\).
b) Bezpośrednio przed zetknięciem ze sprężyną ciało ma prędkość \(\displaystyle v \approx 4,52\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).