RZUT PIONOWY DO GÓRY Z WYSOKOŚCI

Rzut pionowy do góry z wysokości

Rzutem pionowym do góry z wysokości nazywamy ruch ciała wyrzuconego pionowo w górę z pewnej wysokości \(h\), z prędkością początkową \(v_0 > 0\), w jednorodnym polu grawitacyjnym Ziemi, z pominięciem oporów powietrza.

Wyprowadzenie (czas wznoszenia, maksymalna wysokość, czas całkowity i prędkość końcowa)

Przyjmujemy układ odniesienia, w którym oś \(Oy\) zwrócona jest pionowo do góry.
Wektor przyspieszenia grawitacyjnego ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi \(Oy\), dlatego w równaniach przyspieszenie występuje ze znakiem minus.

rzut pionowy do góry z wysokości h z prędkością początkową

Korzystamy z ogólnych równań ruchu jednostajnie przyspieszonego: \[ s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} \] \[ v = v_0 + a t \] Podstawiamy: \(s_0 = h\), \(a = -g\)

1. Czas wznoszenia (\(t_1\)):
W najwyższym punkcie toru prędkość ciała jest równa zero: \(v = 0\).
Korzystamy z równania: \[ 0 = v_0 - g t_1 \] Stąd: \[ t_1 = \frac{v_0}{g} \]

2. Maksymalna wysokość wzniesienia (\(H_{\max}\)):
Korzystamy z równania drogi: \[ H_{\max} = h + v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2} \] Podstawiamy \(t_1 = \frac{v_0}{g}\): \[ H_{\max} = h + \frac{v_0^2}{g} - \frac{g}{2} \cdot \frac{v_0^2}{g^2} \] Po uproszczeniu otrzymujemy: \[ H_{\max} = h + \frac{v_0^2}{2g} \]

3. Całkowity czas lotu (\(T\)):
Czas ruchu składa się z czasu wznoszenia oraz czasu spadania z maksymalnej wysokości do poziomu ziemi.
Czas spadania z wysokości \(H_{\max}\) wynosi: \[ t_2 = \sqrt{\frac{2 H_{\max}}{g}} \] Zatem całkowity czas lotu: \[ T = t_1 + t_2 \]

4. Prędkość końcowa ciała przed uderzeniem w ziemię (\(v_k\)):
Korzystamy z zależności wynikającej z równań ruchu: \[ v_k^2 = v_0^2 + 2 g h \] Stąd: \[ v_k = -\sqrt{v_0^2 + 2 g h} \] Minus oznacza, że prędkość końcowa ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi \(Oy\).