RZUT PIONOWY DO GÓRY

Rzut pionowy do góry

Rzutem pionowym do góry nazywamy ruch ciała wyrzuconego pionowo w górę z pewną prędkością początkową \(v_0 > 0\).
W rzucie pionowym w górę ciało wznosi się aż do momentu, w którym jego prędkość chwilowa spadnie do zera.
Punkt ten nazywamy punktem zwrotnym. Następnie ciało zaczyna spadać ruchem przyspieszonym.

Wyprowadzenie (czas wznoszenia, maksymalna wysokość i całkowity czas lotu)

Przyjmujemy układ odniesienia, w którym oś \(Oy\) zwrócona jest pionowo do góry.
Wektor przyspieszenia grawitacyjnego ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi \(Oy\), dlatego w równaniach przyspieszenie występuje ze znakiem minus.

rzut pionowy do góry w polu grawitacyjnym Ziemi

Korzystamy z ogólnych równań ruchu jednostajnie przyspieszonego: \[ s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} \] \[ v = v_0 + a t \] Podstawiamy: \(s_0 = 0\), \(a = -g\)

1. Czas wznoszenia (\(t_1\)):
W najwyższym punkcie toru prędkość ciała jest równa zero: \(v = 0\).
Korzystamy z równania: \[ 0 = v_0 - g t_1 \] Stąd: \[ t_1 = \frac{v_0}{g} \]

2. Maksymalna wysokość wzniesienia (\(h_{\max}\)):
Korzystamy z równania drogi: \[ h_{\max} = v_0 t_1 - \frac{g t_1^2}{2} \] Podstawiamy \(t_1 = \frac{v_0}{g}\): \[ h_{\max} = \frac{v_0^2}{g} - \frac{g}{2} \cdot \frac{v_0^2}{g^2} \] Po uproszczeniu otrzymujemy: \[ h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g} \]

3. Całkowity czas lotu (\(T\)):
Ruch jest symetryczny — czas wznoszenia jest równy czasowi spadania.
Zatem: \[ T = 2 t_1 \] Po podstawieniu: \[ T = \frac{2 v_0}{g} \]

4. Prędkość końcowa ciała przed uderzeniem w ziemię (\(v_k\)):
Ciało po osiągnięciu maksymalnej wysokości zaczyna spadać ruchem jednostajnie przyspieszonym, aż do chwili uderzenia w ziemię.
Korzystamy z równania prędkości: \[ v_k = v_0 - g T \] Podstawiamy całkowity czas lotu \(T = \frac{2v_0}{g}\): \[ v_k = v_0 - g \cdot \frac{2v_0}{g} \] Po uproszczeniu otrzymujemy: \[ v_k = -v_0 \] Minus oznacza, że prędkość końcowa ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi \(Oy\).