Rzutem ukośnym nazywamy ruch ciała wyrzuconego z prędkością początkową
\(v_0\) pod kątem \(\alpha\) do poziomu, w jednorodnym polu grawitacyjnym Ziemi,
z pominięciem oporów powietrza.
Rzut ukośny jest przykładem
zasady niezależności ruchów.
Ruch można rozłożyć na:
• ruch jednostajny w kierunku poziomym,
• ruch jednostajnie przyspieszony w kierunku pionowym.
Przyspieszenie pionowe ma wartość:
\[
a_y=-g=\text{const}
\]
Wyprowadzenie (czas lotu, maksymalna wysokość, zasięg i prędkość końcowa)
Przyjmujemy układ odniesienia, w którym oś \(Ox\) jest pozioma, a oś \(Oy\) skierowana pionowo do góry.
1. Czas lotu (\(T\)):
Ciało wraca na poziom, z którego zostało wyrzucone, więc: \[ y=0 \] \[ 0=v_0\sin\alpha \cdot T-\frac{gT^2}{2} \] Wyłączamy \(T\) przed nawias: \[ T\left(v_0\sin\alpha-\frac{gT}{2}\right)=0 \] Pomijając rozwiązanie \(T=0\), otrzymujemy: \[ T=\frac{2v_0\sin\alpha}{g} \]
2. Maksymalna wysokość (\(h_{\max}\)):
W najwyższym punkcie toru: \[ v_y=0 \] \[ 0=v_0\sin\alpha-gt \] \[ t=\frac{v_0\sin\alpha}{g} \] Podstawiamy do równania ruchu pionowego: \[ h_{\max} = v_0\sin\alpha \cdot \frac{v_0\sin\alpha}{g} - \frac{g}{2} \left( \frac{v_0\sin\alpha}{g} \right)^2 \] Po uproszczeniu: \[ h_{\max} = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} \]
3. Zasięg rzutu (\(z\)):
Korzystamy ze wzoru: \[ z=v_xT \] \[ z= v_0\cos\alpha \cdot \frac{2v_0\sin\alpha}{g} \] \[ z= \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} \] Korzystając ze wzoru: \[ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \] otrzymujemy: \[ z= \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} \]
4. Prędkość końcowa (\(v_k\)):
W chwili powrotu na poziom startu: \[ v_x=v_0\cos\alpha \] \[ v_y=-v_0\sin\alpha \] Korzystając z twierdzenia Pitagorasa: \[ v_k= \sqrt{ (v_0\cos\alpha)^2 + (-v_0\sin\alpha)^2 } \] \[ v_k= \sqrt{ v_0^2 (\cos^2\alpha+\sin^2\alpha) } \] \[ v_k=v_0 \] Oznacza to, że wartość prędkości końcowej jest równa wartości prędkości początkowej.
5. Równanie toru ruchu:
Korzystamy z równań: \[ x=v_0\cos\alpha \cdot t \] \[ y=v_0\sin\alpha \cdot t-\frac{gt^2}{2} \] Z pierwszego równania wyznaczamy czas: \[ t=\frac{x}{v_0\cos\alpha} \] Podstawiamy do równania pionowego: \[ y= v_0\sin\alpha \cdot \frac{x}{v_0\cos\alpha} - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0\cos\alpha} \right)^2 \] Po uproszczeniu: \[ y= x\tan\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha} x^2 \] Jest to równanie paraboli, czyli tor rzutu ukośnego.