RZUT PIONOWY W DÓŁ

Rzut pionowy w dół

Rzutem pionowym w dół nazywamy ruch ciała wyrzuconego pionowo w dół z pewnej wysokości \(h\), z prędkością początkową \(v_0 > 0\), w jednorodnym polu grawitacyjnym Ziemi, z pominięciem oporów powietrza.

Wyprowadzenie (czas lotu, prędkość końcowa i droga ruchu)

Przyjmujemy układ odniesienia, w którym oś \(Oy\) zwrócona jest pionowo do góry.
Wektor przyspieszenia grawitacyjnego ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi \(Oy\), dlatego w równaniach przyspieszenie występuje ze znakiem minus.

rzut pionowy w dół z wysokości h z prędkością początkową

Korzystamy z ogólnych równań ruchu jednostajnie przyspieszonego: \[ s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} \] \[ v = v_0 + a t \] Podstawiamy: \(s_0 = h\), \(a = -g\), \(s = 0\)

1. Czas lotu ciała (\(t\)):
Korzystamy z równania drogi: \[ 0 = h - v_0 t - \frac{g t^2}{2} \] Przekształcamy: \[ \frac{g t^2}{2} + v_0 t - h = 0 \] Jest to równanie kwadratowe względem czasu \(t\).
Rozwiązaniem fizycznie sensownym jest: \[ t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g h}}{g} \]

2. Prędkość końcowa przed uderzeniem w ziemię (\(v_k\)):
Korzystamy z równania prędkości: \[ v_k = v_0 - g t \] Podstawiamy wyznaczony czas: \[ v_k = v_0 - g \cdot \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 g h}}{g} \] Po uproszczeniu otrzymujemy: \[ v_k = -\sqrt{v_0^2 + 2 g h} \] Minus oznacza, że prędkość ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi \(Oy\).

3. Droga przebyta przez ciało:
W czasie ruchu ciało przebywa drogę równą wysokości początkowej: \[ s = h \]

4. Związek z pozostałymi przypadkami ruchu:
Gdy \(v_0 = 0\), rzut pionowy w dół przechodzi w spadek swobodny.
Otrzymane wzory upraszczają się do: \[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \qquad v_k = -\sqrt{2 g h} \]