SPADEK SWOBODNY

Spadek swobodny

Spadkiem swobodnym nazywamy ruch ciała puszczonego swobodnie (bez prędkości początkowej \(v_0 = 0\)) w polu grawitacyjnym, z pominięciem oporów powietrza. (w warunkach ziemskich opór powietrza zazwyczaj wpływa na ruch ciał, jednak w zadaniach z kinematyki (poziom liceum i wstęp do studiów) przyjmujemy model idealny – próżnię.)
Ciało porusza się z przyspieszeniem ziemskim \(g \approx 9,81 \, \text{m/s}^2\). \[a = g = \text{const}\]

Wyprowadzenie (Czas spadku i prędkość końcowa)

Przyjmujemy układ odniesienia, w którym oś \(Oy\) zwrócona jest pionowo do góry.
Wektot przyspieszenia ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi \(Oy\), więc w równaniach przyspieszenie poprzedzone jest znakiem minus.

spadek swobodny ciała w polu grawitacyjnym z wysokości h

Korzystamy z ogólnych równań ruchu jednostajnie przyspieszonego, równania ruchu mają postać: \[s=s_0+v_0t+\frac{at^2}{2}\] \[v_k=v_0+at\] Podstawiamy: \(v_0 = 0\), \(a = -g\), \(s_0 = h\) oraz \(s = 0\) Zatem \[0=h-\frac{gt^2}{2}\] \[v_k=-gt\]

1. Czas spadku (\(t\)):
Obliczamy ze wzoru: \(0=h-\frac{gt^2}{2}\)

przeksztłcamy wzór: \(2h = g \cdot t^2\)

wyznacjąc czas: \(t^2 = \frac{2h}{g}\) \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

2. Prędkość końcowa (\(v_k\)):

Obliczamy ze wzoru: \(v_k = -g \cdot t\)

Podstawiamy wyliczony powyżej czas: \(v_k = -g \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}\)

Wciągamy \(g\) pod pierwiastek: \(v_k = -\sqrt{\frac{g^2 \cdot 2h}{g}}\)

Po skróceniu otrzymujemy: \[v_k = -\sqrt{2gh}\] Minus oznacza, że prędkość ma zwrot przeciwny do dodatniego zwrotu osi \(Oy\).

Ciekawostka: Energia w spadku

Zauważ, że wzór na prędkość końcową \(v_k = \sqrt{2gh}\) można również wyprowadzić z zasady zachowania energii.
Energia potencjalna na górze (\(E_p = mgh\)) zamienia się w całości na energię kinetyczną na dole (\(E_k = \frac{mv^2}{2}\)).
Po przyrównaniu ich do siebie i skróceniu masy \(m\), otrzymasz identyczny wynik!

\[\frac{m \cdot v^2}{2} = m \cdot g \cdot h\] \[v^2 = 2 \cdot g \cdot h\] \[v = \sqrt{2gh}\]

To fascynujące, że dwa zupełnie inne podejścia – kinematyczne (badanie ruchu) i energetyczne (badanie stanu układu) – dają identyczny rezultat.