FUNKCJA PIERWOTNA

Definicja (Funkcja pierwotna)

Funkcję \(F\) nazywamy pierwotną funkcji \(f\) na przedziale \(I\), jeżeli \[F'(x)=f(x) \,\,\,\,\,\,\, \text{dla każdego}\,\,\, x\in I \]

Przykład

Poszukajmy funkcji pierwotnej dla funkcji \(f(x)=x^2\)
Funkcją pierwotną będzie funkcja \(F(x)=\frac{x^3}{3}\)
Możemy to sprawdzić korzystając z definicji, obliczamy pochodną \(F(x)\) czyli \( F'(x)=(\frac{x^3}{3})'=3\cdot\frac {x^{3-1}}{3}=x^2=f(x)\) jak widać, pochodna \(F(x)\) jest równa \(f(x)\).

Twierdzenie (o funkcjach pierwotnych)

Niech \(F\) będzie funkcją pierwotną funkcji \(f\) na przedziale \(I\), wówczas
\(\displaystyle G(x)=F(x)+C \) gdzie \(C\in \mathbb{\text{R}}\) , jest również funkcją pierwotną \(f\) na przedziale \(I\)
\(C\) - jest nazywaną stałą całkowania

Przykład

Jak w górnym przykładzie funkcją pierwotną funkcji \(f(x)=x^2\) jest \(F(x)=\frac{x^3}{3}\)
Ale może być np. \(F(x)=\frac{x^3}{3} +2\) albo \(F(x)=\frac{x^3}{3} -\sqrt3\) itp.
Jak widzimy tych funkcji jest nieskończenie wiele. Oczywiście obliczając pochodną funkcji pierwotnej, stała w niej zawarta się zeruje (pochodna stałej równa się zero) dlatego możemy do funkcji pierwotnej dopisać dowolną stałą.

CAŁKA NIEOZNACZONA

Definicja (Całka nieoznaczona)

Niech \(F\) będzie pierwotną funkcji \(f\) na przedziale \(I\).
Całką nieoznaczoną funkcji \(f\) na przedziale \(I\) nazywamy zbiór funkcji \[\{F(x)+C \,\,\, :\,C\in \mathbb{\text{R}} \} \] Całkę nieoznaczoną funkcji \(f\) oznaczamy przez \[\displaystyle\int f(x)\, dx\] czyli możemy zapisać \[\displaystyle\int f(x)\, dx=\{F(x)+C\,\,\,:\,\,C\in \mathbb{\text{R}} \}\] gdzie: \(F'(x)=f(x) \)
\(f(x)\) - funkcję we wzorze nazywamy funkcją podcałkową
\(dx\) - to symbol, który oznacza, że zmienną całkowania jest \(x\)

Uwaga

W praktyce dla wygody całki zapisujemy prościej bez nawiasów klamrowych \[\displaystyle\int f(x)\, dx=F(x)+C\]
I tak całkę z naszych przykładów zapisujemy \[\int x^2 dx=\frac{x^3}{3} +C\]

Jak widać z powyższych definicji całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania (wyznaczania pochodnej).

Twierdzenie 1 (pochodna całki nieoznaczonej)

Niech funkcja \(f\) ma pierwotną na przedziale \(I\). Wtedy dla każdego \(x\in I\) \[\displaystyle \left[ \int f(x)\,dx\right]'= f(x)\]

Twierdzenie 2 (całka nieoznaczona pochodnej)

Niech funkcja \(f\) ma pochodną na przedziale \(I\). Wtedy dla każdego \(x\in I\) \[\displaystyle \int f'(x)\,dx= f(x)+C\]

→ dalej Wyprowadzenie kilku wzorów na całki →