WYPROWADZENIE KILKU WZORÓW NA CAŁKI

Wiedząc, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania napiszmy kilka podstawowych wzorów na całki

Jeżeli pochodna: \(\displaystyle (x^2)'=2x\)     to, całka:     \(\displaystyle\int 2x\,dx=x^2+c\)

Pochodna: \(\displaystyle (x^6)'=6x^5\)     to, całka:     \(\displaystyle\int 6x^5\,dx=x^6+c\)

Pochodna: \(\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1}\)     całka:     \(\displaystyle\int nx^{n-1}\,dx=x^n+c\)

Ogólny wzór na całkę potęgi

Podobnie możemy wyznaczyć wzory na inne całki podstawowych funkcji

\(\displaystyle (a^x)'=a^x \ln a\)     to:     \(\displaystyle\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c\)

\(\displaystyle (e^x)'=e^x\)     to:     \(\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+c\)

\(\displaystyle (\sin x)'=\cos x\)   to:   \(\displaystyle\int \cos x\,dx=\sin x+c\)

\(\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\)   to:   \(\displaystyle\int \sin x\,dx=-\cos x+c\)

i w ten sposób możemy wyznaczyć wzory na inne funkcje.

Poniżej dwa wzory całkowe wynikające za wzorów na pochodne funkcji złożonych.

1.   \(\displaystyle (\ln f(x))'=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)\)     to:

\(\displaystyle\int\frac{f'(x)}{f(x)}=\ln|f(x)| +c\)

---

2.   \(\displaystyle \left (\sqrt{f(x)}\right )' =\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}\cdot f'(x)\)     to:

\(\displaystyle\int\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=2\sqrt{f(x)} +c\)

Wzory o liniowości całki nieoznaczonej

1.   Całka sumy równa się sumie całek.

\(\displaystyle\int \left(f(x)+g(x)\right)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)

2.   Stałą można wyłączyć przed znak całki.

\(\displaystyle\int c \,f(x)dx=c\int f(x)dx\)

Jeszcze jeden wzór który bywa często wykorzystywany

Jeżeli \(f(x)\) jest funkcją podstawową którą całkę znamy i jest nią funkcja pierwotna \(F(x)\) to:

\[\displaystyle \int f(ax+b)dx = \frac1a F(ax+b)+c\]