SZEREG GEOMETRYCZNY

Czy można dodawać do siebie nieskończenie wiele liczb i otrzymać konkretny, skończony wynik?
W przypadku szeregu geometrycznego odpowiedź brzmi: TAK.

Definicja (Szereg geometryczny)

Szeregiem geometrycznym nazywamy sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego \( (a_n) \). \[ a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \dots \] Zapisujemy go symbolem sumy (sigma): \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_1 \cdot q^{n-1} = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \dots \] gdzie:
\( \displaystyle a_1 \) – pierwszy wyraz ciągu,
\( \displaystyle q \) – iloraz ciągu geometrycznego.

Twierdzenie (Zbieżność szeregu geometrycznego)

Nieskończony szereg geometryczny jest zbieżny (posiada skończoną sumę \( S \)) wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: \[ |q| \lt 1 \] Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, sumę szeregu obliczamy wzorem: \[ \displaystyle S = \frac{a_1}{1 - q} \]

Przykład: Suma szeregu

Oblicz sumę szeregu: \( \displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \)

1. Wypisanie danych:
\( \displaystyle a_1 = 1 \)
\( \displaystyle q = \frac{1}{2} \div 1 = \frac{1}{2} \)

2. Sprawdzenie zbieżności:
\( \displaystyle |q| = |\frac{1}{2}| = 0,5 \). Ponieważ \( \displaystyle 0,5 \lt 1 \), szereg jest zbieżny.

3. Obliczenie sumy:
\[ \displaystyle S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2 \] Wynik: Suma tego szeregu wynosi 2.

Ważne ostrzeżenie (Szereg rozbieżny)

Jeżeli \( |q| \ge 1 \), to szereg nazywamy rozbieżnym. Oznacza to, że jego suma dąży do nieskończoności (lub nie istnieje).

Przykład: Zamiana ułamka okresowego na zwykły

Zamieńmy ułamek \( \displaystyle 0,(15) = 0,151515\dots \) na ułamek zwykły.

Rozwiązanie:
Rozpisujemy ułamek jako sumę: \( \displaystyle 0,15 + 0,0015 + 0,000015 + \dots \)

Jest to szereg geometryczny o parametrach:
• \( \displaystyle a_1 = 0,15 = \frac{15}{100} \)
• \( \displaystyle q = 0,01 = \frac{1}{100} \)

Stosujemy wzór na sumę (warunek \( \displaystyle 0,01 \lt 1 \) jest spełniony):
\[ \displaystyle S = \frac{\frac{15}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{15}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{15}{100} \cdot \frac{100}{99} = \frac{15}{99} \]

Po skróceniu przez 3 otrzymujemy:
Wynik: \( \displaystyle 0,(15) = \frac{5}{33} \)

Paradoks Zenona z Elei

Szereg geometryczny rozwiązuje słynny starożytny paradoks o Achillesie i żółwiu. Zenon twierdził, że Achilles nigdy nie dogoni żółwia, bo najpierw musi dotrzeć do miejsca, w którym żółw był przed chwilą, a w tym czasie żółw przesunie się dalej.

Matematyka pokazuje, że suma tych nieskończenie wielu małych odcinków czasu (tworzących szereg geometryczny) jest wielkością skończoną, co pozwala Achillesowi dogonić żółwia w konkretnym momencie.