WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW

Wzór rekurencyjny to sposób definiowania ciągu poprzez odwołanie się do jego poprzednich wyrazów.

Definicja (Wzór rekurencyjny - ogólnie)

Mówimy, że ciąg \( (a_n) \) jest określony rekurencyjnie, jeśli podany jest jego pierwszy wyraz (lub kilka początkowych wyrazów) oraz reguła, która pozwala obliczyć każdy kolejny wyraz na podstawie wyrazów już wyznaczonych.

Przykład ogólnego wzoru rekurencyjnego:
Niech dany będzie ciąg, w którym każdy kolejny wyraz jest połową poprzedniego powiększoną o 1:
\( \begin{cases} a_1 = 10 \\ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1 \end{cases} \)

Obliczamy kolejne wyrazy:
• \( a_1 = 10 \)
• \( a_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 + 1 = 5 + 1 = 6 \)
• \( a_3 = \frac{1}{2} \cdot 6 + 1 = 3 + 1 = 4 \)
• \( a_4 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3 \)
Ciąg: \( 10, 6, 4, 3, \dots \)

Definicja (Ciąg arytmetyczny rekurencyjny)

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg \( (a_n) \) określony rekurencyjnie: \[ \begin{cases} a_1 = a \\ a_{n+1} = a_n + r \end{cases} \] dla \( n \ge 1 \) oraz stałych \( a, r \in \mathbb{R} \).

Przykład ciągu arytmetycznego:
Mamy przepis:
\( \begin{cases} a_1 = 5 \\ a_{n+1} = a_n + 3 \end{cases} \)
Kolejne kroki budowania ciągu:
• \( a_1 = 5 \)
• \( a_2 = a_1 + 3 = 5 + 3 = 8 \)
• \( a_3 = a_2 + 3 = 8 + 3 = 11 \)
Ciąg: \( 5, 8, 11, 14, \dots \)

Definicja (Ciąg geometryczny rekurencyjny)

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg \( (a_n) \) określony rekurencyjnie: \[ \begin{cases} a_1 = a \\ a_{n+1} = a_n \cdot q \end{cases} \] dla \( n \ge 1 \) oraz stałych \( a, q \in \mathbb{R} \).

Przykład ciągu geometrycznego:
Mamy przepis:
\( \begin{cases} a_1 = 3 \\ a_{n+1} = a_n \cdot 2 \end{cases} \)
Kolejne kroki budowania ciągu:
• \( a_1 = 3 \)
• \( a_2 = a_1 \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6 \)
• \( a_3 = a_2 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12 \)
Ciąg: \( 3, 6, 12, 24, \dots \)

Warto wiedzieć, że o ile obliczanie kolejnych wyrazów z rekurencji jest proste, o tyle ustalenie wzoru ogólnego na jej podstawie bywa bardzo trudne. Dla prostych ciągów (arytmetycznych czy geometrycznych) istnieją gotowe schematy, jednak dla bardziej złożonych zależności rekurencyjnych znalezienie wzoru ogólnego wymaga zaawansowanych metod matematycznych.

WZORY REKURENCYJNE CIĄGÓW

Zadanie 1

Dany jest ciąg arytmetyczny określony wzorem rekurencyjnym: \[ \begin{cases} a_1 = 7 \\ a_{n+1} = a_n + 4 \end{cases} \] Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

Rozwiązanie

Zadanie 2

Dany jest ciąg geometryczny określony wzorem rekurencyjnym: \[ \begin{cases} a_1 = 5 \\ a_{n+1} = a_n \cdot 3 \end{cases} \] Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

Rozwiązanie

Zadanie 3

Dany jest ciąg geometryczny o wzorze ogólnym: \[ a_n = 5 \cdot 2^n \] Wyznacz wzór rekurencyjny tego ciągu.

Rozwiązanie

Zadanie 4

Populacja pewnych bakterii potraja się co godzinę. Na początku badania (godzina 0) w próbce znajdowało się 100 bakterii. Zapisz wzór rekurencyjny opisujący liczbę bakterii po n godzinach, a następnie oblicz, ile bakterii będzie w próbce po 5 godzinach.

Rozwiązanie

Zadanie 5

Najsłynniejszym ciągiem rekurencyjnym jest ciąg Fibonacciego, w którym każdy wyraz (począwszy od trzeciego) jest sumą dwóch poprzednich. Definiujemy go wzorem: \[ \begin{cases} a_1 = 1 \\ a_2 = 1 \\ a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2} \text{ dla } n \gt 2 \end{cases} \] Wyznacz siedem pierwszych wyrazów tego ciągu i sprawdź, czy liczba 13 do niego należy.

Rozwiązanie

Zadanie 6

Zbadaj monotoniczność ciągu określonego wzorem rekurencyjnym: \[ \begin{cases} b_1 = 4 \\ b_{n+1} = -2n + b_n \end{cases} \]

Rozwiązanie

Zadanie 7

Dany jest ciąg: \( 2, \ -3, \ -6, \ 18, \dots \).
Zapisz wzór rekurencyjny tego ciągu i oblicz jego piąty wyraz.

Rozwiązanie

Zadanie 8

Dany jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym: \[ \begin{cases} a_1 = 4 \\ a_2 = -1 \\ a_{n+2} = n \cdot a_n - 3a_{n+1} \end{cases} \] Wyznacz piąty wyraz tego ciągu (\( a_5 \)).

Rozwiązanie