FUNKCJA KWADRATOWA DEFINICJA I WYKRES
Definicja (Funkcja kwadratowa)
Funkcja kwadratowa nazywamy funkcję \(f\) określona wzorem:
\[\large f(x)=ax^2+bx+c\]
lub
\[\large y=ax^2+bx+c\]
gdzie:
a, b, c - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej (określone stałe liczby)
\(a, b, c \in \mathbb{R} \) i \(a\neq 0\)
Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych \(D_f\in\mathbb{R}\)
Wykres funkcji kwadratowej
Wykresem funkcji kwadratowej jest krzywa o nazwie parabola
Przykład 1
Funkcja typu: \(y=x^2\) jest to najprostsza postać funkcji kwadratowej gdzie: \(a=1\,,\,b=0\,,\,c=0\)
Metodą tabelki wyznaczamy kilka punktów wykresu funkcji kwadratowej
Zaznaczamy wyliczone punkty na układzie współrzędnych i łączymy je linią.
Z wykresu funkcji możemy odczytać, że:
1.
Ramiona paraboli skierowane są ku górze,
(jest tak zawsze, gdy \(a>0\))
2.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne \((0,0)\) (jest to zarazem punkt przecięcia się paraboli z osią \(x\), czyli
miejsce zerowe funkcji kwadratowej)
3. Ramiona paraboli są
symetryczne względem osi \(y\) (ogólnie ramiona są symetryczne względem prostej równoległej do osi \(y\) i przechodzącej przez wierzchołek paraboli)
Przykład 2
Funkcja: \(y=-x^2\) tu współrzędne liczbowe funkcji kwadratowej są następujące: \(a=-1\,,\,b=0\,,\,c=0\)
Metodą tabelki wyznaczamy kilka punktów wykresu funkcji kwadratowej
Zaznaczamy wyliczone punkty na układzie współrzędnych i łączymy je linią.
Z wykresu funkcji możemy odczytać, że:
1.
Ramiona paraboli skierowane są ku dołowi,
(jest tak zawsze, gdy \(a<0\))
2.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne jak wyżej w punkcie \((0,0)\)
3. Ramiona paraboli tak jak wyżej też są
symetryczne względem osi \(y\)
Przykład 3
Funkcja: \(y=2x^2+4x\) współrzędne liczbowe funkcji kwadratowej to: \(a=2\,,\,b=4\,,\,c=0\)
Metodą tabelki wyznaczamy kilka punktów wykresu funkcji kwadratowej
Zaznaczamy wyliczone punkty na układzie współrzędnych i łączymy je linią.
Z wykresu funkcji możemy odczytać, że:
1.
Ramiona paraboli skierowane są ku górze
(ponieważ \(a=2>0\))
2.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne w punkcie \((-1,-2)\)
3. Ramiona paraboli są
symetryczne względem prostej \(x=-1\)
4. Funkcja posiada dwa
miejsca zerowe \(x_1=-2\) oraz \(x_2=0\) (punkty przecięcia się wykresu funkcji z osią \(X\))
Przykład 4
Funkcja: \(y=-\frac12 x^2+3x-2\frac12\) tu współrzędne liczbowe funkcji kwadratowej to: \(a=-\frac12\,,\,b=3\,,\,c=-2\frac12\)
Metodą tabelki wyznaczamy kilka punktów wykresu funkcji kwadratowej
Zaznaczamy wyliczone punkty na układzie współrzędnych i łączymy je linią.
Z wykresu funkcji możemy odczytać, że:
1.
Ramiona paraboli skierowane są w dół
(ponieważ \(a=-\frac12 < 0\))
2.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne w punkcie \((3,2)\)
3. Ramiona paraboli są
symetryczne względem prostej \(x=3\)
4. Funkcja posiada dwa
miejsca zerowe \(x_1=1\) oraz \(x_2=5\)
5.
Punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią \(Y\) który ma współrzędne \((0,c)\), gdzie c jest współczynnikiem liczbowym funkcji kwadratowej w tym przykładzie \(c=-2\frac12\)
