WZORY VIETE'A - ZADANIA
Zadanie 2
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(\displaystyle 2x^2+6x+m-8=0\) ma dwa pierwiastki o różnych znakach.
Rozwiązanie
1) Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy \(\Delta>0\)
2) Dwie liczby mają przeciwne znaki, gdy ich iloczyn jest ujemny \(x_1\cdot x_2\lt0\)
Zatem
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\Delta >0 \\
x_1\cdot x_2\lt 0
\end{array} \right. \)
1) \(\Delta>0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(b^2-4ac>0\)
\(a=2,\,\,b=6,\,\,c=m+5\)
\((6)^2-4\cdot2\cdot(m+5)>0\)
\(36-40-8m>0\)
\(-4-8m>0\)
\(-8m>4 \,\,\,\,/:(-8)\)
\(m\lt-\frac12\)
2) \(x_1\cdot x_2\lt 0\)
Ze wzoru Viete'a \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
\(\displaystyle \frac{c}{a} \lt 0\)
\(a=1,\,\,c=m+6\)
\(\displaystyle \frac{m+6}{1}\lt 0\)
\(\displaystyle m \lt -6\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest część wspólna obu warunków
\(m\lt-\frac12\) i \(\displaystyle m \lt -6\)
Dla \(m\in (-\infty ,-6)\) równanie \(\displaystyle 2x^2+6x+m-8=0\) ma dwa pierwiastki o różnych znaków.
