WZORY VIETE'A - ZADANIA
Zadanie 3
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(\displaystyle x^2-2mx+4-m^2=0\) ma dwa różne pierwiastki i oba są dodatnie.
Rozwiązanie
1) Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy \(\Delta>0\)
2) Dwie liczby są dodatnie, gdy ich iloczyn jest dodatni \(x_1\cdot x_2>0\)
3) Dwie liczby są dodatnie, gdy ich suma jest dodatnia \(x_1+ x_2>0\)
Zatem
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
\Delta >0 \\
x_1\cdot x_2>0 \\
x_1+x_2 >0
\end{array} \right. \)
1) \(\Delta>0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(b^2-4ac>0\)
\(a=1,\,\,b=2m,\,\,c=4-m^2\)
\((2m)^2-4\cdot1\cdot(4-m^2)>0\)
\(4m^2-16+4m^2>0\)
\(8m^2-16>0\,\,\,/:8\)
\(m^2-2>0\)
PrzyrównująC nierówność do zera łatwo obliczymy miejsca zerowe.
\(m^2-2=0\)
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
\((m-\sqrt2)(m+\sqrt2)=0\)
\(a\cdot b=0 \Leftrightarrow a=0\,\,lub\,\, b=0\)
\(m-\sqrt2=0\) lub \(m+\sqrt2=0\)
\(m=\sqrt2\) lub \(m=-\sqrt2\)
Rysujemy parabolę, \(a=1>0\) zatem ramiona są skierowane do góry, zaznaczamy wyliczone miejsca zerowe i odczytujemy dla jakich \(m\) funkcja ma wartości dodatnie.
\(m\in (-\infty ,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,\infty )\)
2) \(x_1\cdot x_2> 0\)
Ze wzoru Viete'a \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
\(\displaystyle \frac{c}{a}>0\)
\(a=1,\,\,c=4-m^2\)
\(\displaystyle \frac{4-m^2}{1}>0\)
Jak wyżej przyrównujemy nierówność do zera i obliczamy miejsca zerowe.
\(\displaystyle 4-m^2=0\)
\((2-m)(2+m)=0\)
\(2-m=0\) lub \(2+m=0\)
\(m=2\) lub \(m=-2\)
Rysujemy parabolę, \(a=-1>0\) zatem ramiona są skierowane w dół, zaznaczamy wyliczone miejsca zerowe i odczytujemy dla jakich \(m\) funkcja ma wartości dodatnie.
\(m\in (-2, 2)\)
3) \(x_1+ x_2> 0\)
Ze wzoru Viete'a \(x_1+ x_2=-\frac{b}{a}\)
\(\displaystyle -\frac{b}{a}>0\)
\(a=1,\,\,c=-2m\)
\(\displaystyle \frac{-(-2m)}{1}>0\)
\(\displaystyle 2m>0\,\,\,/:2\)
\(m>0\)
\(m\in (0, \infty )\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest część wspólna trzech warunków
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
m\in (-\infty ,-\sqrt2)\cup(\sqrt2,\infty ) \\
m\in (-2, 2) \\
m\in (0, \infty)
\end{array} \right. \)
Zatem dla \(m\in (2 ,-\infty)\) równanie \(\displaystyle x^2-2mx+4-m^2=0\) ma dwa różne pierwiastki dodatnie.
