WZORY VIETE'A - ZADANIA
Zadanie 4
Dla jakich wartości parametru \(m\) równanie \(\displaystyle (m-5)x^2+10x+2=0\) ma dwa różne pierwiastki i oba są ujemne.
Rozwiązanie
1) Równanie musi być wyrażeniem kwadratowym, jeżeli ma mieć dwa pierwiastki. Dlatego współczynnik przy \(x^2\) musi być różny od zera
2) Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy \(\Delta>0\)
3) Dwie liczby są ujemne, gdy ich iloczyn jest dodatni \(x_1\cdot x_2>0\)
4) Dwie liczby są ujemne, gdy ich suma jest ujemna \(x_1+ x_2\lt0\)
Zatem
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
m-5\neq 0 \\
\Delta >0 \\
x_1\cdot x_2>0 \\
x_1+x_2 \lt 0
\end{array} \right. \)
1) \(m-5\neq 0\)
\(m\neq 5\)
2) \(\Delta>0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
\(b^2-4ac>0\)
\(a=m-5,\,\,b=10,\,\,c=2\)
\(10^2-4\cdot(m-5)\cdot2>0\)
\(100-8m+40>0\)
\(-8m>-140\,\,\,/:(-8)\)
\(m\lt 17,5\)
3) \(x_1\cdot x_2> 0\)
Ze wzoru Viete'a \(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
\(\displaystyle \frac{c}{a}>0\)
\(a=m-5,\,\,c=2\)
\(\displaystyle \frac{2}{m-5}>0\)
Licznik jest dodatni więc i mianownik musi być dodatni aby iloraz był dodatni.
\(\displaystyle m-5>0\)
\(\displaystyle m>5\)
4) \(x_1+ x_2\lt 0\)
Ze wzoru Viete'a \(x_1\cdot x_2=-\frac{b}{a}\)
\(\displaystyle -\frac{b}{a}>0\)
\(a=m-5,\,\,b=10\)
\(\displaystyle \frac{-10}{m-5}\lt0\)
Licznik jest ujemny więc mianownik musi być dodatni aby iloraz był ujemny.
\(\displaystyle m-5>0\)
\(\displaystyle m>5\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest część wspólna trzech warunków
\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{cl}
m\neq 5\\
m\lt 17,5 \\
m>5
\end{array} \right. \)
Dla \(m\in (5, 17\frac12)\) równanie \(\displaystyle (m-5)x^2+10x+2=0\) ma dwa różne pierwiastki ujemne.
