RÓWNANIA WYKŁADNICZE Z PODSTAWIENIEM - ZADANIA
Zadanie 1
Rozwiąż równanie wykładnicze wprowadzając pomocniczą niewiadomą : \(3^x+3^{-x+3}=12\)
\(3^x+3^{-x+3}=12\)
\(-x+3=3-x\)
\(3^x+3^{3-x}=12\)
korzystamy ze wzoru \(a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}\)
\(\displaystyle 3^x+\frac{3^3}{3^x}=12\)
Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \(3^x=t\) gdzie \(t>0\)
\(\displaystyle t+\frac{27}{t}=12\)
\(\displaystyle t+\frac{27}{t}=12\,\,\,\,/\cdot t\)
\(t^2+27=12t\)
\(t^2-12t+27=0\)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe
Obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\) w naszym przypadku współczynniki wynoszą \(a=1\,,\,\,b=-12\,,\,\,c=27\)
\(\Delta=(-12)^2-4\cdot 1\cdot 27=144-108=36\)
\(\sqrt{\Delta}=6\)
Obliczamy pierwiastki ze wzoru \( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) , \( x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\displaystyle t_1=\frac{12-6}{2}=\frac62=3\)
\(\displaystyle t_2=\frac{12+6}{2}=\frac{18}2=9\)
Wracamy do podstawienia \(3^x=t\)
\(3^x=3\) to \(x=1\)
\(3^x=9\) to \(x=2\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem równana \(3^x+3^{-x+3}=12\) są liczby \(x=1\) lub \(x=2\)
