RÓWNANIA WYKŁADNICZE Z PODSTAWIENIEM - ZADANIA
Zadanie 2
Rozwiąż równanie wykładnicze wprowadzając pomocniczą niewiadomą : \(25^x-4\cdot 5^{x+1}=125\)
\(25^x-4\cdot 5^{x+1}=125\)
\(25=5^2\) , \(5^{x+1}=5^x\cdot 5\)
\((5^2)^x-4\cdot 5^x\cdot 5=125\)
\((5^2)^x=(5^x)^2\)
\((5^x)^2-20\cdot 5^x=125\)
\((5^x)^2-20\cdot 5^x-125=0\)
Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \(5^x=t\) gdzie \(t>0\)
\(t^2-20t-125=0\)
Rozwiązujemy równanie kwadratowe
Obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\) w naszym przypadku współczynniki wynoszą \(a=1\,,\,\,b=-20\,,\,\,c=-125\)
\(\Delta=20^2-4\cdot (-125)=400+500=900\)
\(\sqrt{\Delta}=30\)
Obliczamy pierwiastki ze wzoru \( t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) , \( t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\displaystyle t_1=\frac{20-30}{2}=-5\)
Liczbę \(-5\) musimy odrzucić gdyż nie spełnia założenia, że \(t>0\)
\(\displaystyle t_2=\frac{20+30}{2}=25\)
Wracamy do podstawienia \(5^x=t\)
\(5^x=25\) to \(x=2\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem równana \(3^x+3^{-x+3}=12\) jest liczba \(x=2\)
