RÓWNANIA WYKŁADNICZE - ZADANIA
Zadanie 6
Rozwiąż równanie wykładnicze : \(\displaystyle \left(\frac1{27}\cdot3^x \right )^x=3^{-5x+3}\)
\(\displaystyle \left(\frac1{27}\cdot3^x \right )^x=3^{-5x+3}\)
\( \frac1{27}=\frac1{3^3}\)
\(\displaystyle \left(\frac1{3^3}\cdot3^x \right )^x=3^{-5x+3}\)
\( \frac1{3^3}=3^{-3}\)
\((3^{-3} \cdot 3^x)^x =3^{-5x+3}\)
stosujemy wzór \(a^m \cdot a^n=a^{m+n}\)
\((3^{-3+x})^x =3^{-5x+3}\)
stosujemy wzór \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
\(3^{-3x+x^2} =3^{-5x+3}\)
opuszczamy podstawy
\(-3x+x^2 =-5x+3\)
przenosimy wyrażenia na lewą stronę
\(x^2+2x-3=0\)
rozwiązujemy równanie kwadratowe
obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\) w naszym przypadku współczynniki wynoszą \(a=1\,,\,\,b=2\,,\,\,c=-3\)
\(\Delta=2^2-4\cdot 1\cdot -3=4+12=16\)
\(\sqrt{\Delta}=4\)
obliczamy pierwiastki ze wzoru \( x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) , \( x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-2+4}{2}=1\)
\(x=-3\) lub \(x=1\)
Odpowiedź
Rozwiązaniem równana\(\displaystyle \left(\frac1{27}\cdot3^x \right )^x=3^{-5x+3}\) są liczby \(x=-3\) lub \(x=1\)
