PERMUTACJE Z POWTÓRZENIAMI - ZADANIA
Zadanie 1
Ile różnych słów można ułożyć przestawiając litery w wyrazie "ADRIANNA"
Rozwiązanie
Z matematycznego punktu widzenia słowo to ciąg liter.
Czyli musimy utworzyć 8-elementowe permutacje z powtórzeniami w którym niektóre litery się powtarzają
Litera *a* powtarza się 3 razy, czyli \(n_1=3\).
Litera *n* powtarza się 2 razy, czyli \(n_2=2\).
Litery *D*, *R* i *I* występują po jednym razie, więc \(n_3=1\), \(n_4=1\), \(n_5=1\).
Całkowita liczba liter to \(n=n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=8\).
Litera *n* powtarza się 2 razy, czyli \(n_2=2\).
Litery *D*, *R* i *I* występują po jednym razie, więc \(n_3=1\), \(n_4=1\), \(n_5=1\).
Całkowita liczba liter to \(n=n_1+n_2+n_3+n_4+n_5=8\).
Zastosujmy wzór na permutacje z powtórzeniami:
\(\displaystyle P_{n}^{n_1,n_2,\cdots, n_k}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot...\cdot n_k!}\).
\(\displaystyle P_{n}^{n_1,n_2,\cdots, n_k}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot...\cdot n_k!}\).
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
\(\displaystyle P_{8}^{3,2,1,1,1}=\frac{8!}{3!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!} = \frac{40320}{12} = 3360\).
\(\displaystyle P_{8}^{3,2,1,1,1}=\frac{8!}{3!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!} = \frac{40320}{12} = 3360\).
Odpowiedź
Z liter wyrazu "ADRIANNA" można ułożyć \(3360\) różnych słów.