KWANTYFIKATORY WPROWADZENIE

Zdania typu

\(x - 3\,\) jest liczbą dodatnią \(figura\, f\, jest\, trójkątem\)

albo równania \[x^2 - 1 = 0 \qquad x + y = 0\] czy nierówności \[5 > y + 2 \qquad |2 - 4x| \leqslant 6\] nie są zdaniami w sensie logicznym, ponieważ nie można im przypisać wartości logicznej: prawdy ani fałszu. O powyższych zdaniach mówimy, że są to funkcje zdaniowe albo formy zdaniowe — zdania te, jak można zauważyć, zawierają zmienne.

Jeżeli funkcję zdaniową poprzedzimy słowem każdy (dla każdego) lub istnieje (istnieje takie), wówczas otrzymamy zdanie logiczne, któremu możemy przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład

Każda figura \(f\) jest trójkątem. To zdanie jest fałszywe.
Istnieje figura \(f\), która jest trójkątem. To zdanie jest prawdziwe.

Terminy każdy lub istnieje nazywamy w logice kwantyfikatorami.

Każdy (dla każdego) nazywamy kwantyfikatorem ogólnym lub dużym albo uniwersalnym
Oznaczamy go symbolem: \(\large \forall\) (ang. All) — to współczesny, międzynarodowy zapis. W starszej notacji używano symbolu: \( \LARGE \vee\)

Istnieje (istnieje takie) nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym lub małym albo egzystencjalnym.
Oznaczamy go symbolem: \(\large \exists\) (ang. Exists) — to współczesny zapis; w dawnej notacji stosowano: \( \LARGE \wedge\)

Kwantyfikator umieszczamy przed formą zdaniową.

Pod lud przy kwantyfikatorze umieszczamy parametr odnoszący się do zmiennej z formy zdaniowej.

Przykład

Wyrażenie

\({\underset{x\in \mathbb{R}}{\large \forall} }x^2 - 1 = 0\) zapis równoważny \({\large \forall} x \in \mathbb{R} : x^2 - 1 = 0\)

czytamy: "dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych wyrażenie \(x^2 - 1\) równa się zero"

To zdanie jest fałszywe.

Ale gdy powyższe zdanie napiszemy

\({\underset{x\in \mathbb{R}}{\large \exists} }x^2 - 1 = 0\) zapis równoważny \({\large \exists}\, x \in \mathbb{R} : x^2 - 1 = 0\)

czytamy: "istnieje takie \(x\) należące do zbioru liczb rzeczywistych, że \(x^2 - 1\) równa się zero"

To zdanie jest prawdziwe (bo: \(x = 1\) lub \(x = -1\)).

Jak widać, przez zmianę kwantyfikatora można zmienić sens logiczny zdania.