Definicja (Postać macierzowa liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną \(z=a+ib\) możemy przedstawić w postaci macierzowej \[a+ib=\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a \end{bmatrix}\]
POSTAĆ MACIERZOWA LICZBY ZESPOLONEJ
Przykłady
1) Liczba rzeczywista \(1\) to macierz jednostkowa:
\(1=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)
2) Liczba urojona \(i\) to macierz:
\(i=\begin{bmatrix}
0& -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)
3) Dowolna liczba rzeczywista \(a\) to:
\(a=a\begin{bmatrix}
1& 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a& 0\\
0 & a
\end{bmatrix}\)
4) Dowolna liczba czysto urojona \(ib\) to:
\(ib=b\begin{bmatrix}
0& -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0& -b\\
b & 0
\end{bmatrix}\)
zatem możemy teraz zapisać:
\(a+ib=
\begin{bmatrix}
a& 0\\
0 & a
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
0& -b\\
b & 0
\end{bmatrix}=\)\(
\begin{bmatrix}
a & -b\\
b & a
\end{bmatrix}\)
Działania na liczbach zespolonych w postaci macierzowej wykonujemy jak na macierzach
1) Dodawanie i odejmowanie, przykład:
\[(2+i3)+(4-i5)=6-i2\]\[\begin{bmatrix} 2 & -3\\ 2 & 2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 4 & 5\\ -5 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6 & 2\\ -2 & 6 \end{bmatrix}\]2) Mnożenie macierzy liczb w tej postaci jest przemienne, przykład:
\((2+i3)\cdot(0-i2)=6-i4\)
\(\begin{bmatrix}
2 & -3\\
3 & 2
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
0 & 2\\
-2 & 0
\end{bmatrix}=\)
\(
\begin{bmatrix}
2\cdot0+(-3)\cdot(-2) & \, 2\cdot2+(+3)\cdot0\\
3\cdot0+2\cdot(-2) & \, 3\cdot2+2\cdot0
\end{bmatrix}=\)
\(\begin{bmatrix}
6 & 4\\
-4 & 6
\end{bmatrix} \)
3) Podnoszenie macierzy do potęgi naturalnej \(n\) to wymnażanie macierzy przez siebie \(n\) razy , przykład:
\(i^2=i\cdot i=-1\)
\(\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}=\)
\(
\begin{bmatrix}
0\cdot0+(-1)\cdot1 & \, 0\cdot(-1)+(-1)\cdot0\\
1\cdot0+0\cdot1 & \, 1\cdot(-1)+0\cdot0
\end{bmatrix}=\)
\(\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix} \)
4) Dzielenie liczb zespolonych w postaci macierzowej polega na mnożeniu pierwszej macierzy przez odwrotność drugiej, przykład:
\(\displaystyle\frac{-2+i4}{4+i2}=i\)
\(\begin{bmatrix}
-2 & -4 \\
4 & -2
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}
4 & -2 \\
2 & 4
\end{bmatrix}^{-1}=\)
\(\begin{bmatrix}
-2 & -4 \\
4 & -2
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}
0,2 & 0,1 \\
-0,1 & 0,2
\end{bmatrix}=\)
\(\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)
Macierz odwrotną można wyznaczyć korzystając z programu
Iloczyn macierzy można obliczyć korzystając z programu