PIERWIASTKI ZESPOLONE Z JEDYNKI

Definicja (Pierwiastki zespolone z jedynki)

Pierwiastki z jedynki n-tego stopnia \(\sqrt[n]{1}\) spełniają równość \[a^n=1\] gdzie:
\(a\) - pierwiastek z jedynki \(a\in\mathbb{C}\)
\(n\) - stopień pierwiastka \(n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}\)

Przykład

\(\sqrt[4]{1}=\{1,i,-1,-i\}\) - zbiór pierwiastków
zatem:
\(1^4=1\)
\(i^4=i^2\cdot i^2=(-1)\cdot(-1)=1\)
\((-1)^4=1\)
\((-i)^4=(-i)^2\cdot (-i)^2=(-1)\cdot(-1)=1\)

Twierdzenie (Pierwiastki zespolone z jedynki)

Zbiór wszystkich pierwiastków n-tego stopnia z jedynki wraz z działaniem mnożenia tworzy grupę abelową.

Grupa abelowa

Jeżeli działamy na dowolnych elementach z grupy, to wynik tego działania też będzie należał do grupy
Ponadto działanie to na elementach grupy spełnia warunki:
1. Działanie jest przemienne    \((a\cdot b)= (b\cdot a)\)
2. Działanie jest łączne    \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)
3. Działanie ma element neutralny    \((a\cdot e)= (e\cdot a) =a\)
\(e\)-element neutralny
4. Dla każdego elementu zbioru istnieje element odwrotny   \((a\cdot a')= (a'\cdot a) =e\)
\(a'\)-element odwrotny do \(a\)

Przykład

\(\sqrt[4]{1}=\{1,i,-1,-i\}\)
zatem np:
\((-i)\cdot(-1)=i\) - działanie na elementach grupy, wynik należy do grupy
\((-i)\cdot(-1)=(-1)\cdot (-i)=i\) przemienność działań
\(((-i)\cdot(-1))\cdot i=(-i)\cdot((-1)\cdot i)=-1\) łączność działań
element neutralny w grupie to \(1\) bo np. \((1\cdot i=i)\)
elementy przeciwne:
dla \(1\) to \(1\)
dla \(-1\) to \(-1\)
dla \(-i\) to \(i\)
dla \(i\) to \(-i\)

Twierdzenie (Grupa cykliczna i generator)

Zbiór pierwiastków z jedynki jest grupą cykliczną.

Grupa cykliczna jest generowana przez pojedynczy element zwany generatorem, (grupa cykliczna może mieć wiele generatorów).
Generator przez cykliczne (wielokrotne) potęgowanie generuje (tworzy) dowolny elementy danej grupy.

Twierdzenie (Generatory grupy pierwiastków stopnia \(n\) z jedynki)

Generatorami grupy pierwiastków n-tego stopnia z jedynki są te pierwiastki \(z_k (k,n)\) dla których: \[\text{NWD} (n,k)=1\] gdzie:
\(n\) - stopień pierwiastka
\(k\)-ty pierwiastek \(k=0,1,2,...,n-1\)

Pierwiastki te nazywamy pierwiastkami pierwotnymi stopnia n z jedynki

Przykład

\(\sqrt[4]{1}=\{1,i,-1,-i\}\)
gdzie:
\(z_0=1\)
\(z_1=i\)
\(z_2=-1\)
\(z_3=-i\)
obliczamy \(\text{NWD} (n,k)\)
\(\text{NWD} (4,0)=\text{brak}\)
\(\text{NWD} (4,1)=1\)
\(\text{NWD} (4,2)=2\)
\(\text{NWD} (4,3)=1\)
Pierwiastki pierwotne to \(z_1 , z_3\) czyli \(\{i, -i\}\) które generują całą grupę
\(i^2=-1\)
\(i^3=-i\)
\(i^4=1\)
\((-i)^2=-1\)
\((-i)^3=i\)
\((-i)^4=1\)

PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH - ZADANIA

Zadanie 1

A) Oblicz wszystkie pierwiastki sześcienne z jeden \(\sqrt [3]{1}\)
B) Znajdź generatory pozostałych pierwiastków

Rozwiązanie

Zadanie 2

Oblicz wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z jeden \(\sqrt [4]{1}\)

Rozwiązanie

Zadanie 3

Oblicz wszystkie pierwiastki piątego stopnia z jeden \(\sqrt [5]{1}\)

Rozwiązanie

Zadanie 4

Oblicz wszystkie pierwiastki szóstego stopnia z jeden \(\sqrt [6]{1}\)

Rozwiązanie