RÓWNANIA LOGARYTMICZNE - ZADANIA
Zadanie 7
Oblicz liczbę \(x\) jeżeli: \(\displaystyle \log_{2} [\log_3 (\log_4 x)]=0\)
Założenia
Określiliśmy dziedzinę równania. Mamy trzy warunki
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \;\;\;\, \, \\
\log_4x>0 \\
\log_3 (\log_4 x)>0
\end{array} \right.
\)
W drugiej nierówności zamieniamy \(0=\log_41\)
W trzeciej nierówności zamieniamy \(0=\log_31\)
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \;\;\;\, \, \\
\log_4x>\log_41 \\
\log_3 (\log_4 x)>\log_31
\end{array} \right.
\)
Opuszczamy logarytmy w drugiej i trzeciej nierówności.
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \\
x>1 \\
\log_4 x>1
\end{array} \right.
\)
W trzeciej nierówności zamieniamy \(1=\log_44\)
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \\
x>1 \\
\log_4 x>\log_44
\end{array} \right.
\)
Opuszczamy logarytmy w trzeciej nierówności.
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \\
x>1 \\
x>4
\end{array} \right.
\)
Wyznaczając część wspólną przedziałów otrzymujemy dziedzinę
\(x\in(4,\infty) \)
Nasza dziedzina
Rozwiązanie
\(\displaystyle \log_{2} [\log_3 (\log_4 x)]=0\)
Korzystamy z definicji logarytmu \( \log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b\) gdzie \( a=2 , b=\log_3 (\log_4 x) , c=0 \)
\(\log_3 (\log_4 x)=2^0\)
\(\log_3 (\log_4 x)=1\)
Powtórnie korzystamy z definicji logarytm gdzie \( a=3 , b= \log_4 x , c=1 \)
\(\log_4 x =3^1\)
\(\log_4 x =3\)
Jeszcze raz korzystamy z definicji logarytm gdzie \( a=4 , b= x , c=3 \)
\(x=4^3\)
\(x=64\)
Liczba \(64\) należy do dziedziny więc jest rozwiązaniem naszego zadania
