RÓWNANIA LOGARYTMICZNE - ZADANIA
Zadanie 6
Oblicz liczbę \(x\) jeżeli: \(\displaystyle \log_{8} (\log_4 x)=\frac13\)
Założenia
Określiliśmy dziedzinę równania. Mamy dwa warunki
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \;\;\;\, \, \\
\log_4x>0
\end{array} \right.
\)
W drugiej nierówności zamieniamy \(0=\log_21\)
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \,\,\,\qquad\, \\
\log_4x>\log_41
\end{array} \right.
\)
Opuszczamy logarytmy w drugiej nierówności
\(
\left\{ \begin{array}{cl}
x>0 \\
x>1
\end{array} \right.
\)
\(x\in(1,\infty) \)
Nasza dziedzina
Rozwiązanie
\(\displaystyle \log_{8} (\log_4 x)=\frac13\)
Korzystamy z definicji logarytmu \( \log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b\) gdzie \( a=8 , b=\log_4 x , c=\frac13 \)
\(\log_4x=8^{\frac13}\)
\(\log_4x=2\)
Powtórnie korzystamy z definicji logarytm gdzie \( a=4 , b= x , c=2 \)
\(x=4^2\)
\(x=16\)
Liczba \(16\) należy do dziedziny więc jest rozwiązaniem naszego zadania
