DYNAMIKA NEWTONA - PRZYSPIESZENIE UKŁADU CIAŁ
Zadanie 1
Na poziomej powierzchni znajdują się dwa połączone nicią ciała o masach \(\displaystyle m_1\) i \(\displaystyle m_2\). Na ciało o masie \(\displaystyle m_2\) działa siła \(\displaystyle F\) skierowana w dół pod kątem \(\displaystyle \alpha\) do poziomu. Współczynnik tarcia obu ciał o powierzchnię poziomą wynosi \(\displaystyle \mu\). Oblicz przyspieszenie układu tych ciał. Przyspieszenie ziemskie wynosi \(\displaystyle g\).
Dane i stałe
\(\displaystyle m_1\) - masa pierwszego ciała
\(\displaystyle m_2\) - masa drugiego ciała
\(\displaystyle F\) - siła ciągnąca
\(\displaystyle \alpha\) - kąt nachylenia siły \(\displaystyle F\) do poziomu
\(\displaystyle \mu\) - współczynnik tarcia kinetycznego
\(\displaystyle g\) - przyspieszenie ziemskie
Szukane
\(\displaystyle a\) - przyspieszenie układu ciał
1. Siły działające na ciała
Rozważmy siły działające na każde z ciał w układzie współrzędnych, gdzie oś \(\displaystyle x\) jest pozioma (w kierunku ruchu), a oś \(\displaystyle y\) jest pionowa.
Ciało o masie \(\displaystyle m_1\)
- Siła naciągu nici (\(\displaystyle N\)): Działa wzdłuż osi \(\displaystyle x\), w prawo.
- Siła ciężkości (\(\displaystyle Q_1\)): Działa w dół, \(\displaystyle Q_1 = m_1 g\).
- Siła reakcji podłoża (\(\displaystyle R_1\)): Działa w górę. Ponieważ ciało \(\displaystyle m_1\) nie porusza się w pionie, \(\displaystyle R_1 = Q_1 = m_1 g\).
- Siła tarcia kinetycznego (\(\displaystyle T_1\)): Działa wzdłuż osi \(\displaystyle x\), w lewo (przeciwko ruchowi).
\[ T_1 = \mu R_1 = \mu m_1 g \]
Ciało o masie \(\displaystyle m_2\)
- Siła zewnętrzna (\(\displaystyle F\)): Działa pod kątem \(\displaystyle \alpha\) do poziomu. Musimy ją rozłożyć na składowe:
- Składowa pozioma (\(\displaystyle F_x\)): Działa wzdłuż osi \(\displaystyle x\), w prawo: \(\displaystyle F_x = F \cos \alpha\).
- Składowa pionowa (\(\displaystyle F_y\)): Działa wzdłuż osi \(\displaystyle y\), w dół: \(\displaystyle F_y = F \sin \alpha\).
- Siła naciągu nici (\(\displaystyle N\)): Działa wzdłuż osi \(\displaystyle x\), w lewo.
- Siła ciężkości (\(\displaystyle Q_2\)): Działa w dół, \(\displaystyle Q_2 = m_2 g\).
- Siła reakcji podłoża (\(\displaystyle R_2\)): Działa w górę. Ponieważ ciało \(\displaystyle m_2\) nie porusza się w pionie, suma sił wzdłuż osi \(\displaystyle y\) jest równa zero:
\[ R_2 - Q_2 - F_y = 0 \implies R_2 = Q_2 + F_y = m_2 g + F \sin \alpha \]
- Siła tarcia kinetycznego (\(\displaystyle T_2\)): Działa wzdłuż osi \(\displaystyle x\), w lewo.
\[ T_2 = \mu R_2 = \mu (m_2 g + F \sin \alpha) \]
2. Równania ruchu (II zasada dynamiki)
Zakładamy, że ruch odbywa się w prawo z przyspieszeniem \(\displaystyle a\). Ciała są połączone, więc mają to samo przyspieszenie.
Ciało \(\displaystyle m_1\) (ruch w prawo)
Suma sił działających wzdłuż osi \(\displaystyle x\):
\[ N - T_1 = m_1 a \]
\[ N - \mu m_1 g = m_1 a \quad (*) \]
Ciało \(\displaystyle m_2\) (ruch w prawo)
Suma sił działających wzdłuż osi \(\displaystyle x\):
\[ F_x - N - T_2 = m_2 a \]
\[ F \cos \alpha - N - \mu (m_2 g + F \sin \alpha) = m_2 a \quad (**) \]
3. Wyznaczenie przyspieszenia \(\displaystyle a\)
Dodajemy stronami równania \(\displaystyle (*)\) i \(\displaystyle (**)\), aby wyeliminować siłę naciągu nici \(\displaystyle N\):
\[ (N - \mu m_1 g) + (F \cos \alpha - N - \mu (m_2 g + F \sin \alpha)) = m_1 a + m_2 a \]
Siły \(\displaystyle N\) się redukują:
\[ F \cos \alpha - \mu m_1 g - \mu m_2 g - \mu F \sin \alpha = (m_1 + m_2) a \]
Grupujemy wyrazy, aby wyznaczyć \(\displaystyle a\):
\[ F \cos \alpha - \mu F \sin \alpha - \mu g (m_1 + m_2) = (m_1 + m_2) a \]
\[ F (\cos \alpha - \mu \sin \alpha) - \mu g (m_1 + m_2) = (m_1 + m_2) a \]
Ostatecznie, wzór na przyspieszenie układu \(\displaystyle a\):
\[ a = \frac{F (\cos \alpha - \mu \sin \alpha) - \mu g (m_1 + m_2)}{m_1 + m_2} \]
Wzór końcowy
Przyspieszenie układu ciał jest równe:
\[ a = \frac{F (\cos \alpha - \mu \sin \alpha)}{m_1 + m_2} - \mu g \]
Ruch nastąpi tylko wtedy, gdy przyspieszenie \(\displaystyle a \ge 0\). Oznacza to, że wypadkowa siła ciągnąca musi być większa od całkowitej siły tarcia.
