POCHODNA FUNKCJI
Z
ilorazem różnicowym związane są sieczne przechodzące przez punkty wykresu funkcji o współrzędnej \(x_0\) i przez punkty o współrzędnych \(x_0+h,\,\,x_0+h_1,\,\,x_0+h_2\).
Wszystkie sieczne przechodzą przez punkt \(A\) a drugi punkt zbliża się po wykresie do punktu \(A\) gdy zmniejsza się \(h\) (przyrost argumentu).
W granicznym położeniu gdy przyrost argumentu dąży do zera (\(h\) dąży do zera) wówczas
sieczna ma już tylko jeden punkt wspólny z wykresem funkcji i przechodzi w
styczną.
Definicja (Pochodna funkcji)
Pochodna funkcji w punkcie \(x_0\) jest równa granicy ilorazu różnicowego gdy przyrost argumentów dąży do zera.
\[\displaystyle \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
Granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie \(x_0\) i oznaczamy \(f'(x_0)\) czyli:
\[\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie
Pochodna \(f'(x_0)\) jest równa
tangensowi kąta \(\alpha\) jaki tworzy z dodatnią częścią osi \(OX\)
styczna do wykresu funkcji w punkcie \((x_0,f(x_0))\)
\[\displaystyle \large tg\, \alpha =f'(x_0)\]
Zwrócimy uwagę, że omawiana
styczna jest opisana równaniem \(y=ax+b\) wówczas \(tg\, \alpha\) równa się współczynnikoiw kierunkowemu tej
stycznej, zatem:
\[\displaystyle \large tg\, \alpha =f'(x_0)= a\]
a równaie stycznej ma postać:
\[\displaystyle \large y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\]
Inne oznaczenie pochodnej
Niech: \(x_0+\Delta x=x\)
wówczas: \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(x)-f(x_0)\)
oraz: \(\Delta x=x-x_0\)
to pochodną możemy teraz zapisać w postaci:
\(\displaystyle f'(x_0)= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\)\(\displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)
Interpretacja fizyczna pochodnej funkcji w punkcie
Pochodną funkcji możemy interpretować jako prędkości chwilową czyli granicę przyrostu drogi do przyrostu czasu gdy przyrost czasu dąży do zera.
\[\displaystyle \large \Delta v_{chwilowa} =\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\]
