FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE SUMY I RÓŻNICY KĄTÓW - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz wartość wyrażenia \( \text{tg}\, 105^\circ \) Rozwiązanie
Zauważmy:\[\text{tg}\, 105^\circ = \text{tg}\,(60^\circ + 45^\circ)\]
Stosujemy wzór: \( \text{tg}\,(a + b) = \frac{\text{tg}\, a + \text{tg}\, b}{1 - \text{tg}\, a\, \text{tg}\, b} \)
\(\displaystyle
\text{tg}\,(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\text{tg}\, 60^\circ + \text{tg}\, 45^\circ}{1 - \text{tg}\, 60^\circ \, \text{tg}\, 45^\circ}
\)
Podstawiamy wartości funkcji trygonometrycznych: \( \text{tg}\, 60^\circ = \sqrt{3} \) \( \text{tg}\, 45^\circ = 1 \)
\(\displaystyle \text{tg}\, (60^\circ + 45^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \)
\(\displaystyle \text{tg}\, (60^\circ + 45^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \)
Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \( 1 + \sqrt{3} \)
\(\displaystyle \text{tg}\, 105^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} =\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3}}{1 - 3}=\)
\( \displaystyle\frac{2\sqrt{3} + 4}{-2} = -\frac{\sqrt{3} + 2}{1}. \)
\(\displaystyle \text{tg}\, 105^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} =\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3}}{1 - 3}=\)
\( \displaystyle\frac{2\sqrt{3} + 4}{-2} = -\frac{\sqrt{3} + 2}{1}. \)
Odpowiedź
\(\displaystyle \text{tg}\, 105^\circ = -\sqrt{3} - 2\)
→ dalej Zadania nr 2 →