FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE SUMY I RÓŻNICY KĄTÓW
Przykład
Oblicz wartość wyrażenia \( \sin75^\circ \)
Zauważmy: \[\sin75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) \] Stosujemy wzór: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha\cos \beta + \cos \alpha\sin \beta \) \[ \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin45^\circ\cos30^\circ + \cos45^\circ\sin30^\circ \] Podstawiamy wartości funkcji trygonometrycznych: \( \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)\( \cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \sin30^\circ = \frac{1}{2} \) \[ \sin75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] Ostatecznie \[\displaystyle \sin75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Twierdzenie (Wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów dla tangensów i cotangensów)
\[ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\,\alpha + \text{tg}\,\beta}{1 - \text{tg}\,\alpha\, \text{tg}\, \beta} \] \[ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta}{1 + \text{tg}\,\alpha\, \text{tg}\, \beta} \] \[ \text{ctg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{ctg}\,\alpha\,\text{ctg}\,\beta - 1}{\text{ctg}\,\beta + \text{ctg}\,\alpha} \] \[ \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg}\,\alpha\,\text{ctg}\,\beta + 1}{\text{ctg}\,\beta - \text{ctg}\,\alpha} \]Dowód wzoru na sumę kątów ostrych \(\alpha\) i \(\beta\) dla funkcji sinus.
Załóżmy, że dane są dwa kąty ostre \(\alpha\) i \(\beta\), mające wspólny wierzchołek \(C\), a ich ramiona leżą po przeciwnych stronach półprostej \(CM\), która stanowi ich wspólne ramię.
Przez punkt \(D\), wybrany dowolnie na półprostej \(CM\), prowadzimy prostą prostopadłą do tej półprostej.
Prostopadła przecina ramiona kątów \(\alpha\) i \(\beta\) w punktach \(A\) oraz \(B\), tworząc trójkąt \(ABC\), w którym \(CD\bot AB\), a \(\sphericalangle ACB=\alpha+\beta\). Dodatkowo oznaczamy \(CD = h\), \(BC = a\), \(AC = b\).
Wysokość \(CD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa mniejsze trójkąty \(ADC\) oraz \(DBC\). Stąd wynika, że pole trójkąta \(ABC\) jest sumą pól trójkątów \(ADC\) i \(DBC\). \[(*) \,\,\,\,\,\,\,\, P_{\Delta ABC} = P_{\Delta ADC} + P_{\Delta DBC}\] Z twierdzenia: Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu dwóch boków trójkąta i sinusa kąta zawartego między nimi. Wynika, że: \[P_{\Delta ABC} = \frac12 ab \sin (\alpha + \beta)\] \[P_{\Delta ADC} = \frac12 bh \sin \alpha\] \[P_{\Delta DBC} = \frac12 ah \sin \beta\] W trójkącie prostokątnym \(DBC\) mamy: \[h = a \cos \beta\] Z trójkąta prostokątnego \(ACD\) wynika: \[h = b \cos \alpha\] Po podstawieniu powyższych wartości do wzorów na pola trójkątów otrzymujemy: \[P_{\Delta ADC} = \frac12 ab \sin \alpha \cos \beta\] \[P_{\Delta DBC} = \frac12 ab \cos \alpha \sin \beta\] Zapisaliśmy tak, aby we wszystkich wzorach wystąpił iloczyn \(ab\).
Korzystając z równości \((*)\), możemy zapisać: \[\frac12 ab \sin (\alpha + \beta) = \frac12 ab \sin \alpha \cos \beta + \frac12 ab \cos \alpha \sin \beta\] Dzieląc obie strony równania przez \(\frac12 ab\), otrzymujemy: \[\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\] Wzór ten można również dowieść dla dowolnych kątów \(\alpha\) i \(\beta\), ale tego dowodu tutaj nie prezentuje.
Wyprowadzenie pozostałych wzorów.
1. Wyprowadzenie wzoru na \(\sin(\alpha - \beta)\)
Korzystamy z udowodnionej tożsamości:
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\]Do wzoru w miejsce \((\beta)\) wstawiamy \((-\beta)\)
\[\sin\left [\alpha+( - \beta)\right ] = \sin \alpha \cos(-\beta) + \cos \alpha \sin(-\beta)\] \(\cos(-\beta)=\cos\beta\)\(\sin(-\beta)=-\sin(\beta)\) \[\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\]
2. Wyprowadzenie wzoru na \(\cos(\alpha + \beta)\)
Korzystamy z udowodnionej tożsamości:
\[\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\]Do wzoru w miejsce \((\alpha)\) wstawiamy \(\displaystyle\left (\frac{\pi}{2} - \alpha\right )\)
\[\sin\left[\left (\frac{\pi}{2} - \alpha\right ) - \beta\right] = \sin \left (\frac{\pi}{2} - \alpha\right ) \cos \beta + \cos \left (\frac{\pi}{2} - \alpha\right )\sin \beta\] \(\sin \left (\frac{\pi}{2} - \alpha\right )= \cos\alpha\)\(\cos \left (\frac{\pi}{2} - \alpha\right )= \sin\alpha\) \[\sin\left[\frac{\pi}{2} -\left ( \alpha + \beta\right )\right] = \cos\alpha\cos \beta + \sin\alpha\sin \beta\] \(\sin\left[\frac{\pi}{2} -\left ( \alpha + \beta\right )\right]=\cos( \alpha + \beta)\) \[\cos\left ( \alpha + \beta\right ) = \cos\alpha\cos \beta + \sin\alpha\sin \beta\]
3. Wyprowadzenie wzoru na \(\cos(\alpha - \beta)\)
Korzystamy z udowodnionej tożsamości:
\[\cos\left ( \alpha + \beta\right ) = \cos\alpha\cos \beta + \sin\alpha\sin \beta\]Do wzoru w miejsce \((\beta)\) wstawiamy \((-\beta)\)
\[\cos\left [ \alpha + (-\beta)\right ] = \cos\alpha\cos (-\beta) + \sin\alpha\sin (-\beta)\] co daje \[\cos\left ( \alpha -\beta\right) = \cos\alpha\cos \beta - \sin\alpha\sin \beta\]4. Wyprowadzenie wzoru na \(\text{tg}(\alpha + \beta)\)
Korzystamy z tożsamości tangensa:
\[\displaystyle\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}\] Podstawiamy wyrażenia dla \(\sin(\alpha + \beta)\) i \(\cos(\alpha + \beta)\) \[\displaystyle\text{tg}(\alpha + \beta) =\displaystyle \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}\] Dzielimy licznik i mianownik przez \(\cos \alpha \cos \beta\) \[\displaystyle\text{tg}(\alpha + \beta) =\displaystyle\displaystyle\displaystyle \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}\] Skracamy wyrazy podobne \[\displaystyle\text{tg}(\alpha + \beta) =\displaystyle\displaystyle \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}\] Korzystamy z tożsamości: \(\displaystyle\text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\), otrzymujemy: \[\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta}\]