FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE DOWOLNEGO KĄTA

Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta.

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta zdefiniujemy za pomocą kąta skierowanego umieszczonego w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Rozpatrzmy kąt \( \alpha \), którego wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych \( O(0,0) \), a ramię początkowe leży na dodatniej półosi osi OX. Promień wodzący obraca się od ramienia początkowego do ramienia końcowego, wyznaczając kąt skierowany.
Na końcowym ramieniu kąta, w odległości \((r>0)\) od początku układu współrzędnych wybieramy dowolny punkt \( P(x,y) \).

Współrzędne tego punktu definują wartości funkcji trygonometrycznych jako:

Trójkąt prostokątny funkcji trygonometrycznej kąta ostrego

\[ \sin \alpha = \frac{y}{r} \quad \quad \cos \alpha = \frac{x}{r} \] \[ \text{tg} \, \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0) \quad \quad \text{ctg} \, \alpha = \frac{x}{y} \quad (y \neq 0) \]

gdzie \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) to odległość punktu \( P \) od początku układu współrzędnych.

Uwaga

Funkcje trygonometryczne są zdefiniowane dla dowolnego kąta, również większego niż 360° lub ujemnego.

Znaki wartości funkcji trygonometrycznych zależą od ćwiartki układu, w której leży punkt \( P \).

Funkcje \( \text{tg} \) i \( \text{ctg} \) nie są określone, gdy mianownik w definicji wynosi 0.

Wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu \( P \) na ramieniu końcowym kąta.

Tę definicję można rozszerzyć, traktując kąt wyrażony w radianach jako zmienną rzeczywistą. W ten sposób funkcje trygonometryczne stają się funkcjami zmiennej rzeczywistej, przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej odpowiadającą wartość funkcji.

Przykład 1

Obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \text{tg}\,\alpha \) i \( \text{ctg}\,\alpha \) dla przykładu z definicji, gdzie punkt \(P\) ma współrzędne \( P(-3, 4) \)

Obliczamy promień:
\( r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \)

Obliczamy funkcje trygonometryczne:
\( \sin \alpha = \frac{4}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{-3}{5},\) \( \text{tg}\,\alpha = \frac{4}{-3}, \quad \text{ctg}\,\alpha = \frac{-3}{4} \)

Punkt leży w II ćwiartce, gdzie \( \sin \) jest dodatni a \( \cos \), \( \text{tg} \) i \( \text{ctg} \) są ujemne.

Przykład 2

Obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta skierowanego \(\alpha= 225^o \,\, \text{lub} \,\, \alpha=-135^o\) Na ramieniu końcowym obieramy dowolny punkt np. \( P(-3, -3) \).

Obliczamy promień:
\( r = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2} \)

Obliczamy funkcje trygonometryczne:
\( \sin \alpha = \frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \( \cos \alpha = \frac{-3}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \( \text{tg}\,\alpha = -\frac{-3}{-3}=1, \) \( \text{ctg}\,\alpha = \frac{-3}{-3}=1\)

Punkt leży w III ćwiartce, gdzie \( \sin \) i \( \cos \) są ujemne, a \( \text{tg} \) i \( \text{ctg} \) dodatnie.