Definicje (Miara łukowa)
Miara łukowa kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości łuku \(l\), do promienia \(r\)
\[\Large \color{#cc0000} {\alpha}=\frac{\color{Blue}{l}}{r}\]MIARA ŁUKOWA KĄTA
Miara łukowa definicja
Wielkość kątów możemy wyrażać na różne sposoby.
Jednym z najbardziej znanych jest miara stopniowa. Podział okręgu na 360 równych części pozwala nam mierzyć kąty w stopniach.
Jednak w wielu dziedzinach matematyki i fizyki wygodniej jest posługiwać się inną miarą – miarą łukową.
Jednym z najbardziej znanych jest miara stopniowa. Podział okręgu na 360 równych części pozwala nam mierzyć kąty w stopniach.
Jednak w wielu dziedzinach matematyki i fizyki wygodniej jest posługiwać się inną miarą – miarą łukową.
Wprowadźmy oznaczenia
Niech dany będzie kąt \(\alpha\) o wierzchołku w punkcie \(0\).
Kreślimy okrąg o środku w punkcie \(0\) i dowolnym promieniu \(r\).
W ten sposób otrzymujemy kąt środkowy oparty na łuku \(l\)
Kreślimy okrąg o środku w punkcie \(0\) i dowolnym promieniu \(r\).
W ten sposób otrzymujemy kąt środkowy oparty na łuku \(l\)
Mając powyższe oznaczenia, podamy następującą definicję
Jednostka miary łukowej
W mierze stopniowej podajemy liczbę a następnie jednostkę, którą jest stopień np. \(15^\circ\)
Jednostką miary łukowej jest radian, w skrócie piszemy rad.
Definicje (jeden radian)
Jeden radian (1 rad) nazywamy miarę kąta środkowego opartego na łuku o długości równej promieniowi okręgu.
Kąt wielkości jednego radiana.
Zgodnie z definicją miary łukowej mamy
\[ {\alpha}=\frac{\text{długość łuku}}{\text{długość promienia}}=\left[ \frac{\not \text{cm}}{\not \text{cm}} \right]=[-]\]
Jednostki długości nam się skracają co oznacza, że otrzymaliśmy liczbę niemianowaną
Liczba niemianowana to liczba, która nie posiada jednostki miary, ponieważ jest wynikiem stosunku dwóch wartości tego samego rodzaju.
Zatem radian jest jednostką niemianowaną.
Możemy zapisać:
Z tego powodu miara łukowa kąta jest powszechnie stosowana w matematyce i fizyce.
Zgodnie z definicją miary łukowej mamy
\[ {\alpha}=\frac{\text{długość łuku}}{\text{długość promienia}}=\left[ \frac{\not \text{cm}}{\not \text{cm}} \right]=[-]\]
Jednostki długości nam się skracają co oznacza, że otrzymaliśmy liczbę niemianowanąLiczba niemianowana to liczba, która nie posiada jednostki miary, ponieważ jest wynikiem stosunku dwóch wartości tego samego rodzaju.
Zatem radian jest jednostką niemianowaną.
Możemy zapisać:
\(\alpha=1\, \text{rad}\) lub \(\alpha=1\)
Okazuje się, że każdemu kątowi możemy przypisać liczbę rzeczywistą i na odwrót każdej liczbie rzeczywistej możemy przyporządkować kąt.Z tego powodu miara łukowa kąta jest powszechnie stosowana w matematyce i fizyce.
Związek między miarą łukową a stopniową
Ile radianów ma kąt pełny ?
Wiemy, że długość okręgu \(l\) wynosi \(2\pi r\)
Zgodnie z definicji miary łukowej mamy \[\displaystyle {\alpha}=\frac{l}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\] Kąt pełny ma \(360^o\) zatem \[360^o=2\pi\]
Ile radianów ma kąt prosty ?
Kąt prosty to ćwierć okręgu czyli \(\frac14\cdot 2\pi r\)
Z definicji miary łukowej mamy \[\displaystyle {\alpha}=\frac{l}{r}=\frac{\frac14\cdot 2\pi r}{r}=\frac{\pi}{2}\] Kąt prosty ma \(90^o\) zatem \[90^o=\frac{\pi}{2}\]
Wiemy, że długość okręgu \(l\) wynosi \(2\pi r\)
Zgodnie z definicji miary łukowej mamy \[\displaystyle {\alpha}=\frac{l}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\] Kąt pełny ma \(360^o\) zatem \[360^o=2\pi\]
Ile radianów ma kąt prosty ?
Kąt prosty to ćwierć okręgu czyli \(\frac14\cdot 2\pi r\)
Z definicji miary łukowej mamy \[\displaystyle {\alpha}=\frac{l}{r}=\frac{\frac14\cdot 2\pi r}{r}=\frac{\pi}{2}\] Kąt prosty ma \(90^o\) zatem \[90^o=\frac{\pi}{2}\]
Wzór na przejście z miary kątowej na łukową i odwrotnie
Wiemy, że \(360^o=2\pi\). Niech \(\alpha\) oznacza miarę pewnego kąta w stopniach, a \(x\) miarę tego samego kąta w radianach, wówczas miedzy \(\alpha\) i \(x\) określona jest proporcja: \[\large \frac{\alpha}{360^o}=\frac{x}{2\pi}\]
Przykład
Ile stopni ma jeden radian?
Korzystamy ze wzoru \[ \frac{\alpha}{360^o}=\frac{x}{2\pi}\]
w którym podstawiamy \(x=1\)
\[ \frac{\alpha}{360^o}=\frac{1}{2\pi}\]
wymnażamy na krzyż
\[\alpha\cdot 2\pi=360^o\]
\[\alpha=\frac{360^o}{2\pi}\]
\(\pi\approx 3,14\)
\[\alpha\approx\frac{360^o}{6,28}\approx57,3^o\]
Jeden radian to w przybliżeniu \( 57,3\) stopni.
Inne zastosowania miary łukowej
Miara łukowa kąta jest wygodna szczególnie do przybliżania wartości funkcji trygonometrycznych dla małych kątów:
\[\alpha\approx\sin \alpha \quad \quad \alpha\approx\text{tg}\, \alpha\]
ponadto dla \(\alpha \in (0,\frac{\pi}{2})\) zachodzi:
\[\sin \alpha \lt \alpha\, [\text{rad}] \lt \text{tg}\, \alpha\]
Własność tą najłatwiej zauważyć, analizując wykresy funkcji \(y = \sin x\), \(y = x\), \(y = \text{tg}\, x\) w przedziale \((0, \frac{\pi}{2})\).
Wykres funkcji sinus leży poniżej wykresu funkcji \(y=x\), a wykres funkcji tangens leży powyżej. Poniżej wartości tych funkcji:
Wykres funkcji sinus leży poniżej wykresu funkcji \(y=x\), a wykres funkcji tangens leży powyżej. Poniżej wartości tych funkcji:
| \(\alpha\,(^{\circ} )\) | \(\sin \alpha\) | \(\alpha\,(\text{rad})\) | \(\text{tg}\, \alpha\) |
|---|---|---|---|
| \( 1\) | \( 0,01745\) | \( 0,01745\) | \( 0,01746\) |
| \( 2\) | \( 0,03490\) | \( 0,03490\) | \( 0,03492\) |
| \( 5\) | \( 0,08716\) | \( 0,08727\) | \( 0,08749\) |
| \( 10\) | \( 0,17365\) | \( 0,17453\) | \( 0,17633\) |