FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego definiuje się w oparciu o długości boków trójkąta prostokątnego.
Wszystkie trójkąty prostokątne, których jeden z kątów ostrych jest kąt \(\alpha\) są podobne.
Zatam stosunki długości odpowiednich boków w tych trójkątach są równe.
Ta własność pozwala nam wprowadzić poniższą definicję.

Wprowadzmy oznaczenia

Trójkąt prostokątny funkcji trygonometrycznej kąta ostrego

c-przeciwprostokątna – najdłuższy bok trójkąta, leżący naprzeciw kąta prostego.

b-przyprostokątna przyległa do kąta \(\alpha\) – bok leżący przy kącie \(\alpha\).

a-przyprostokątna przeciwległa kątowi \(\alpha\) – bok leżący naprzeciw kąta \(\alpha\).

\(\alpha\) - kąt ostry w trójkącie prostokątnym

Definicje (funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym)

Sinusem kąta ostrego \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta \(\alpha\) do długości przeciwprostokątnej. \[\large \sin \alpha= \frac{\color{Blue}a}{\color{Green}c} \]

Cosinusem kąta ostrego \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta \(\alpha\) do długości przeciwprostokątnej. \[\large \cos \alpha= \frac{\color{Red}b}{\color{Green}c} \]

Tangensem kąta ostrego \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta \(\alpha\) do długości przyprostokątnej przyległej do kąta \(\alpha\) \[\large \text{tg} \, \alpha= \frac{\color{Blue}a}{\color{Red}b} \]

Cotangensem kąta ostrego \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta \(\alpha\) do długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta \(\alpha\) \[\large \text{ctg} \, \alpha= \frac{\color{Red}b}{\color{Blue}a} \]

Przykład 1

Podaj wartości funkcji trygonometrycznych dla zaznaczonego kąta \(\alpha\)

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją funkcji trygonometrycznych odczytujemy z rysunku, że:

\( \displaystyle\sin\alpha=\frac{12}{13}\) \(\displaystyle\cos\alpha=\frac{7}{13}\)

\(\displaystyle\text{tg}\,\alpha=\frac{12}{7}\) \(\displaystyle\displaystyle\text{ctg}\,\alpha=\frac{7}{12}\)

Przykład 2

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \(\beta\) zaznaczonego na rysunku.

Rozwiązanie

Zaczynamy od wyliczenia długości boku BC. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa. \[|BC|^2=(\sqrt7)^2+3^2\] \[|BC|^2=7+9\] \[|BC|^2=16\] \[|BC|=4\] Zatem mamy:

\( \displaystyle\sin\beta=\frac{\sqrt7}{4}\) \(\displaystyle\cos\beta=\frac{3}{4}\)

\(\displaystyle\text{tg}\,\beta=\frac{\sqrt7}{3}\) \(\displaystyle\displaystyle\text{ctg}\,\beta=\frac{3}{\sqrt7}\)