WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH DLA 30°, 45°, 60°
Wyprowadzenie wartości dla kątów 30° i 60°
Rozważmy trójkąt równoboczny o boku długości \( a \). Przez podział na dwa przystające trójkąty prostokątne uzyskujemy trójkąt o kątach 30° i 60°.
Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(\text{a}\) wynosi:
\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]Stąd wartości funkcji trygonometrycznych dal kąta \(30^o\) wynoszą:
\[ \sin 30^\circ =\frac{\frac{a}{2}}{a}= \frac{a}{2}\cdot\frac1a = \frac{1}{2} \] \[ \cos 30^\circ= \frac{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac1a = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{tg} \, 30^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}= \frac{a}{2} \cdot\frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\] \[ \text{ctg} \, 30^\circ = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}= \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{a} ={\sqrt3}\]Stąd wartości funkcji trygonometrycznych dal kąta \(60^o\) wynoszą:
\[ \sin 60^\circ =\frac{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac1a = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 60^\circ= \frac{\frac{a}{2}}{a}= \frac{a}{2}\cdot\frac1a = \frac{1}{2} \] \[ \text{tg} \, 60^\circ = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}= \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{a} ={\sqrt3}\] \[ \text{ctg} \, 60^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}= \frac{a}{2} \cdot\frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\]Wyprowadzenie wartości dla kąta 45°
Rozważmy kwadrat o boku \( a \). Przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o kątach 45°.
Przekątna kwadratu o boku \(\text{a}\) ma długość:
\[ d = a \sqrt{2} \]Stąd wartości funkcji trygonometrycznych:
\[ \sin 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \text{tg} \, 45^\circ = \frac{a}{a}=1 \] \[ \text{ctg} \, 45^\circ = \frac{a}{a}=1 \]Powyższe wartości funkcji trygonometrycznych zebrane w tabelce
| \(\alpha\) | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| \(\sin\alpha\) | \(\displaystyle \frac{1}{2} \) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) |
| \(\cos\alpha\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \(\displaystyle \frac{1}{2} \) |
| \(\text{tg}\,\alpha\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\displaystyle1\) | \(\displaystyle \sqrt{3} \) |
| \(\text{ctg}\,\alpha\) | \(\displaystyle \sqrt{3} \) | \(\displaystyle1\) | \( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) |