WIELOMIANY DEFINICJA

Definicja (Wielomian)

Wielomianem jednej zmiennej rzeczywistej \(x\) nazywamy funkcję określoną wzorem:

\[ W(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 \] gdzie:
\(x\) – zmienna wielomianu,
\(n\) – stopień wielomianu liczba naturalna \(n\in \mathbb{N}\) (największy wykładnik przy zmiennej \(x\), dla którego \(a_n \neq 0\)),
\(a_n, a_{n-1}, \dots, a_0\) – współczynniki wielomianu (stałe liczby, które mogą być dowolne, w tym równe \(0\)).
\(a_nx^n,\,a_{n-1}x^{n-1},\,\dots,\,a_1x,\,a_0\) - nazywamy wyrazami wielomianu, (są to jednomiany).
\(a_0\) – wyraz wolny wielomianu.

Wielomian zmiennej \(x\) oznaczamy zwykle jako \(W(x)\), \(P(x)\), \(Q(x)\), \(S(x)\).

Wielomiany najczęściej zapisujemy w kolejności malejących potęg, aby były uporządkowane i łatwiejsze do analizy.
Przykładowo: \(P(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 5\).

Czasem współczynik \(a_n\) nazywamy wiodącym a gdy \(a_n=1 \) wielomian nosi nazwę unormowanego.

Podamy stopień wielomianów oraz wypiszemy jego współczyniki

Przykłady:

\(P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5\)
Stopień: \(3\)
Współczynniki: \(a_3 = 2\), \(a_2 = -4\), \(a_1 = 0\), \(a_0 = 5\)

\(Q(x) = x^2 + 3x + 2\)
Stopień: \(2\)
Współczynniki: \(a_2 = 1\), \(a_1 = 3\), \(a_0 = 2\)

\(Q(x) = -4x \)
Stopień: \(1\)
Współczynniki: \(a_1 = -4\), \(a_0 = 0\)

\(R(x) = 7\) (stały wielomian)
Stopień: \(0\)
Współczynnik: \(a_0 = 7\)

\(S(x) = 0\) (wielomian zerowy)
Stopień: nieokreślony
Współczynniki: wszystkie są równe \(0\)

Dodatkowe uwagi:

Wielomian stopnia zero to wielomian postaci \(W(x) = a_0\), gdzie \(a_0 \neq 0\). Jest to funkcja stała.

Wielomian zerowy to wielomian, w którym wszystkie współczynniki są równe \(0\).
Zapisujemy go jako \(W(x) = 0\).
Stopień wielomianu zerowego jest nieokreślony (czasem przyjmuje się \(-\infty \) ).

Nazwy niektórych wielomianów:

1) Jednomian: Wielomian składający się z jednego wyrazu. Jego ogólna postać to: \(ax^k\).

Przykłady:
\(P(x) =5x^3\)
\(Q(x) =-2x\)
\(R(x) =7\)

Dwumian: Wielomian będący sumą dwóch niezerowych jednomianów różnych stopni.

Przykłady:
\(P(x) = x^2 + 3x\)
\(Q(x) = -5x^5 - x^2\)

Dwumian liniowy: Dwumian o stopniu 1, którego ogólna postać to: \(ax + b\).

Przykłady:
\(P(x) = -3x + 7\)
\(Q(x) = 2x - 5\)

Trójmian: Wielomian będący sumą trzech niezerowych jednomianów różnych stopni.

Przykłady:
\(R(x) = x^3 + 3x + 2\)
\(S(x) = -4x^5 + x^3 - 7x\)

Trójmian kwadratowy: Trójmian o stopniu 2, którego ogólna postać to: \(ax^2 + bx + c\).

Przykłady:
\(R(x) = -x^2 + 3x + 2\)
\(S(x) = 4x^2 + x - 7\)