Pojęcia pierwotne w teorii mnogości
1) pojęcie zbiór
2) pojęcie należenia (elementu do zbioru)
Pojęć pierwotnych nie definiujemy. Są to pojęcia ogólne, bardzo proste, wszystkim zrozumiałe, ale których nie definiujemy.
POJĘCIE ZBIORU
Teoria mnogości inaczej teoria zbiorów - to dział matematyki zajmujący się badaniem własności zbiorów.
Teorię tę uważa się za podstawę współczesnej matematyki.
Teoria mnogości powstała głownie dzięki pracom Georga Cantora (niemiecki matematyk) i przypada na lata 1871-1883.
Na początku XX wieku teoria została przedstawiona w postaci aksjomatycznej (E. Zermelo, A Frankel)
Teorię tę uważa się za podstawę współczesnej matematyki.
Teoria mnogości powstała głownie dzięki pracom Georga Cantora (niemiecki matematyk) i przypada na lata 1871-1883.
Na początku XX wieku teoria została przedstawiona w postaci aksjomatycznej (E. Zermelo, A Frankel)
Oznaczenia:
Zbiory oznaczamy wielkimi literami (np. A, B, C, D, ...).
Elementy zbioru oznaczamy małymi literami (np. a, b, c, d, ...).
Należenie do zbioru:
Jeżeli przedmiot \(a\) należy do zbioru \(A\) (\(a\) jest elementem zbioru \(A\)) to piszemy: \(a\in A\)
znak \(\in\) czytamy : należy do ...
Jeżeli przedmiot \(a\) nie należy do zbioru \(A\) (\(a\) nie jest elementem zbioru \(A\)) to piszemy: \(a\notin A\)
znak \(\notin\) czytamy : nie należy do ...
Rodzaje zbiorów:
Zbiór skończony: mają określoną liczbę elementów \(n\)
Zbiór nieskończony: nie są skończone (np. zbiór liczb naturalnych).
Sposoby zapisywania zbiorów:
Aby zapisać, że dane elementy tworzą razem zbiór wypisujemy je w nawiasach klamrowych, np. \(X= \{x,y,z \}\)
Sposób pierwszy, wymieniając elementy np.
\( A=\{a,b,c,d,e \}\) , \( \{1,2,3,4, ...100 \}\) zbiory skończone
\(\{a\}\) zbiór jednoelementowy, \(B=\{a, b\}\) zbiór dwuelementowy
\( C=\{1,2,3,4, ... \}\) zbiór nieskończony (zbiór liczb naturalnych)
\( \{2,4,6,8,10,12 ... \}\) zbiór nieskończony (zbiór liczb parzystych)
Sposób drugi, podając własność np.
\( A=\{x:x\in \mathbb{N} \;\;\;i\;\;\;x< 9\}\)
Zapis ten czytamy: A jest zbiorem tych wszystkich elementów x które należą do zbioru liczb naturalnych i są mniejsze od 9
Diagram Venna:
Przedstawienie zbioru na płaszczyźnie:
Rysunek przedstawia zbiór \( \{a,b,c,d,e,f \}\).
Mamy punkty przy punktach litery, które przedstawiają elementy zbioru a całość otoczone krzywą,
która wskazuje, że mamy na myśli zbiór tych elementów.
Te krzywe (pętle) to diagram Venna. (John Venn angielski matematyk, logik i filozof, żył w latach 1834-1923) Dzięki takim pętelkom nauka o zbiorach stała się bardzo prosta.
Uwagi o zbiorach
Symbole \( \{1,2 \}\) i \( \{2,1\}\) oznaczają jedno i to samo, zbiór dwuelementowy o elementach 1 i 2.
W zbiorach nie jest istotna kolejność wypisywania elementów.
Symbole \( \{1 \}\) i \( \{1,1\}\) oznaczają jedno i to samo, jest to zbiór jednoelementowy o elemencie 1.
Wypisywanie elementu wielokrotnie nie zmienia zbioru.