CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz całkę przez części \(\displaystyle\int 2x \cos x\,dx\)
Rozwiązanie
Całkę obliczymy kożystając ze wzoru
\( \displaystyle \int (f \cdot g')\, dx = f \cdot g - \int (f' \cdot g)\, dx \)
Między pionowymi kreskami za całką wykonujemy pomocnicze obliczenia.
\(\displaystyle\int 2x \cos xdx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
f=2x \,\,\,\,\,\, g'=\cos x \\
f'=? \,\,\,\,\,\, g=? \\
\end{vmatrix}=\)
Dokonujemy podstawienia \(f=2x\) oraz \(g'=\cos x\)
Teraz musimy obliczyć \(f'=?\) i \(g=?\)
\(f'=?\) wyliczamy, obliczając pochodną z \(f\)
\(g=?\) wyliczamy, obliczając całkę z \(g'\)
pochodna wyrażenia \(f'=(2x)'=2\)
całka wyrażenia \(g=\int \cos x=\sin x\)
\(\displaystyle\int 2x \cos xdx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
f=2x \,\,\,\,\,\, g'=\cos x \\
f'=2 \,\,\,\,\,\, g=\sin x \\
\end{vmatrix}=\)
Powracamy do wzoru, dokonując odpowiednich podstawień.
\( \displaystyle \int (f \cdot g')\, dx = f \cdot g - \int (f' \cdot g)\, dx \)
\(\displaystyle = 2x \sin x-\int 2\sin x\, dx=\)
\(\displaystyle 2x \sin x-2\int \sin x\, dx=\)
Obiczamy \(\int \sin x\, dx=-\cos x + c\)
\(\displaystyle 2x \sin x+ 2 \cos x+c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle\int 2x \cos x\,dx=2x \sin x+ 2 \cos x+c\)
