CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI - ZADANIA
Zadanie 2
Oblicz całkę przez części \(\displaystyle\int \ln x\,dx\)
Rozwiązanie
Całkę obliczymy kożystając ze wzoru
\( \displaystyle \int (f \cdot g')\, dx = f \cdot g - \int (f' \cdot g)\, dx \)
Między pionowymi kreskami za całką wykonujemy pomocnicze obliczenia.
\(\displaystyle\int \ln x\,dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
f=\ln x \,\,\,\,\,\, g'= 1 \\
f'=? \,\,\,\,\,\, g=? \\
\end{vmatrix}=\)
Dokonujemy podstawienia \(f=\ln x\) oraz \(g'=1\)
następnie obliczamy \(f'=?\) i \(g= ?\)
\(f'=?\) wyliczamy, obliczając pochodną z \(f\)
\(g=?\) wyliczamy, obliczając całkę z \(g'\)
pochodna wyrażenia \(f'=(\ln x)'=\frac1x\)
całka wyrażenia \(g=\int 1dx=x\)
\(\displaystyle\int \ln x\,dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
f=\ln x \,\,\,\,\,\, g'=1 \\
f'=\frac1x \,\,\,\,\,\, g= x \\
\end{vmatrix}=\)
Powracamy do wzoru, dokonując odpowiednich podstawień.
\( \displaystyle \int (f \cdot g')\, dx = f \cdot g - \int (f' \cdot g)\, dx \)
\(\displaystyle = x\ln x-\int \frac1x\cdot x\, dx=\)
\(\displaystyle x\ln x -\int \, dx=\)
całka \(\int \, dx= x + c\)
\(\displaystyle x\ln x - x+c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle\int \ln x\,dx=x\ln x - x+c\)
