CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz całkę przez podstawienie \(\displaystyle\int(5x+3)^3dx\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle\int(5x+3)^3dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
5x+3=t \\
5dx=dt \\
dx=\frac{dt}5
\end{vmatrix}\)
Między pionowymi kreskami za całką wykonujemy pomocnicze obliczenia.
Dokonujemy podstawienia \(5x+3=t\).
Otrzymane równanie \(5x+3=t\) różniczkujemy stronami (dokładnie piszemy różniczki) czyli obliczamy pochodne lewej i prawej strony względem \(x\) i \(t\) a następnie mnożymy przez przyrosty \(dx\) i \(dt\).
Pochodna \((5x+3)'=5\) a różniczka \(5dx\)
Pochodna \((t)'=1\) a różniczka \(1dt=dt\)
\(\displaystyle\int(5x+3)^3dx=\)
Dokonujemy podstawienia za \(5x+3=t\) oraz \(dx=\frac{dt}5\)
\(\displaystyle\int t^3 \frac{dt}5=\)
Przed całkę wyciągamy \(\frac15\)
\(\displaystyle \frac15\int t^3dt=\)
Teraz korzystamy ze wzoru \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
\(\displaystyle \frac15\cdot \frac {t^{3+1}}{3+1}+c=\)
\(\displaystyle \frac1{20}\cdot {t^{4}}+c=\)
Powracamy do naszego podstawienia \(5x+3=t\)
\(\displaystyle \frac1{20}\cdot (5x+3)^{4}+c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle\int(5x+3)^3dx=\frac1{20}\cdot (5x+3)^{4}+c\)
