CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE - ZADANIA
Zadanie 2
Oblicz całkę przez podstawienie \(\displaystyle\int e^{(3x+4)}dx\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle\int e^{(3x+4)}dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
3x+4=t \\
3dx=dt \\
dx=\frac{dt}3
\end{vmatrix}\)
Między pionowymi kreskami za całką wykonujemy pomocnicze obliczenia.
Dokonujemy podstawienia \(5x+3=t\).
Otrzymane równanie \(5x+3=t\) różniczkujemy stronami czyli obliczamy pochodne lewej i prawej strony względem \(x\) i \(t\) a następnie mnożymy przez przyrosty \(dx\) i \(dt\).
Pochodna \((3x+4)'=3\) a różniczka \(3dx\)
Pochodna \((t)'=1\) a różniczka \(dt\)
\(\displaystyle\int e^{(3x+4)}dx=\)
Dokonujemy podstawienia za \(3x+4=t\) oraz \(dx=\frac{dt}3\)
\(\displaystyle\int e^t \frac{dt}3=\)
Przed całkę wyciągamy \(\frac13\)
\(\displaystyle \frac13\int e^tdt=\)
Teraz korzystamy ze wzoru \(\int e^x dx=e^x+c\)
\(\displaystyle \frac13\cdot e^t+c=\)
Powracamy do naszego podstawienia \(3x+4=t\)
\(\displaystyle \frac13\cdot e^{(3x+4)}+c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle\int e^{(3x+4)}dx=\frac13\cdot e^{(3x+4)}+c\)
