CIĄG ARYTMETYCZNY - DEFINICJA

Definicja (Ciąg arytmetyczny)

Ciąg liczbowy nazywamy arytmetycznym, jeżeli każdy jego kolejny wyraz (z wyjątkiem pierwszego) powstaje poprzez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby \( \displaystyle r \). \[ \displaystyle a_{n+1} = a_n + r \]

Zakłada się ponadto, że ciąg algebraiczny musi składać się co najmniej z trzech wyrazów.

Definicja (różnica ciągu arytmetycznego)

Liczbę \( \displaystyle r \) nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Możemy ją obliczyć odejmując od dowolnego wyrazu wyraz go poprzedzający: \[ \displaystyle r = a_{n+1} - a_n \]

Przykłady ciągów arytmetycznych:

• \( \displaystyle 2, 5, 8, 11, \dots \) (tutaj \( \displaystyle r = 3 \))

• \( \displaystyle 10, 8, 6, 4, \dots \) (tutaj \( \displaystyle r = -2 \))

• \( \displaystyle 7, 7, 7, 7, \dots \) (tutaj \( \displaystyle r = 0 \))

Twierdzenie (Monotoniczność ciągu arytmetycznego)

Monotoniczność ciągu arytmetycznego zależy wyłącznie od jego różnicy \( \displaystyle r \):

• Ciąg jest rosnący, gdy \( \displaystyle r > 0 \).

• Ciąg jest malejący, gdy \( \displaystyle r \lt 0 \).

• Ciąg jest stały, gdy \( \displaystyle r = 0 \).

Krótki komentarz:
Ciąg arytmetyczny to nic innego jak dyskretna (punktowa) wersja funkcji liniowej.
Gdybyśmy narysowali wykres ciągu o różnicy \( \displaystyle r \), wszystkie punkty leżałyby na jednej prostej o współczynniku kierunkowym równym \( \displaystyle r \).