WZÓR NA N-TY WYRAZ CIĄGU ARYTMETYCZNEGO
Aby wyznaczyć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego, nie musimy znać wszystkich wyrazów go poprzedzających.
Wystarczy znajomość pierwszego wyrazu \( \displaystyle a_1 \) oraz różnicy \( \displaystyle r \).
Twierdzenie (Wzór ogólny ciągu arytmetycznego)
Wzór na \( \displaystyle n \)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \( \displaystyle (a_n) \) o różnicy \( \displaystyle r \) ma postać:
\[ \displaystyle a_n = a_1 + (n - 1)r \]
gdzie:
\( \displaystyle a_1 \) – pierwszy wyraz ciągu,
\( \displaystyle n \) – numer wyrazu, który chcemy obliczyć (\( \displaystyle n \in \mathbb{N}_+ \)),
\( \displaystyle r \) – różnica ciągu.
Wzór ten pozwala nam "skakać" po ciągu. Jeśli znasz różnicę, możesz obliczyć milionowy wyraz tak samo szybko jak drugi.
Skąd się wziął ten wzór? (Intuicja)
Spójrzmy na kolejne wyrazy:
\( \displaystyle a_1 = a_1 \)
\( \displaystyle a_2 = a_1 + r \)
\( \displaystyle a_3 = a_2 + r = (a_1 + r) + r = a_1 + 2r \)
\( \displaystyle a_4 = a_3 + r = (a_1 + 2r) + r = a_1 + 3r \)
Zauważ, że liczba różnic \( \displaystyle r \) jest zawsze o jeden mniejsza niż numer wyrazu, który obliczamy.
Stąd we wzorze bierze się zapis \( \displaystyle (n-1) \).
Przykład zastosowania:
Mamy ciąg: \( \displaystyle 3, 7, 11, 15, \dots \) Chcemy obliczyć wyraz setny (\( \displaystyle a_{100} \)).
Dane: \( \displaystyle a_1 = 3 \), \( \displaystyle r = 4 \).
\( \displaystyle a_{100} = 3 + (100 - 1) \cdot 4 = 3 + 99 \cdot 4 = 3 + 396 = 399 \).
Twierdzenie (Własność trzech sąsiednich wyrazów)
Jeżeli trzy kolejne liczby \( \displaystyle a, b, c \) tworzą ciąg arytmetyczny, to środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
\[ \displaystyle b = \frac{a + c}{2} \]
Dowód:
Jeżeli liczby \( \displaystyle a, b, c \) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to kolejne wyrazu ciągu możemy zapisać następująco
\( \displaystyle b = a + r \) oraz \( \displaystyle c = b + r \)
\( \displaystyle r = b - a \) oraz \( \displaystyle r = c - b \)
\( \displaystyle b - a = c - b \)
\( \displaystyle 2b = a + c \)
\( \displaystyle b = \frac{a + c}{2} \)
Ciekawostka: Leonardo Fibonacci
To on w XIII wieku w swojej księdze Liber Abaci upowszechnił w Europie system dziesiętny. Bez tego dzisiejszy zapis ciągów arytmetycznych byłby niezwykle trudny – wyobraź sobie obliczanie setnego wyrazu ciągu za pomocą cyfr rzymskich!
