MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU
Monotoniczność ciągu to cecha, która mówi nam o tym, jak zmieniają się wartości kolejnych wyrazów ciągu wraz ze wzrostem indeksu \( \displaystyle n \).
Określając monotoniczność, odpowiadamy na pytanie: "Czy wartości ciągu idą w górę, w dół, czy może stoją w miejscu?".
Definicja (Ciąg rosnący)
Ciąg \( \displaystyle (a_n) \) nazywamy rosnącym, jeżeli dla każdej liczby naturalnej dodatniej \( \displaystyle n \) zachodzi warunek:
\[ \displaystyle a_{n+1} > a_n \]
co jest równoważne stwierdzeniu: \( \displaystyle a_{n+1} - a_n > 0 \).
Przykład:
Rozważmy ciąg \( \displaystyle a_n = n - 2 \).
Wypiszmy kilka początkowych wyrazów: \( \displaystyle a_1 = -1, \,\, a_2 = 0, \,\, a_3 = 1, \,\, a_4 = 2, \dots \)
Widzimy, że wartości rosną. Sprawdźmy to za pomocą definicji:
\( \displaystyle a_{n+1} - a_n = (n + 1 - 2) - (n - 2) = n - 1 - n + 2 = 1 \)
Ponieważ \( \displaystyle 1 > 0 \), ciąg jest rosnący.
Definicja (Ciąg malejący)
Ciąg \( \displaystyle (a_n) \) nazywamy malejącym, jeżeli dla każdej liczby naturalnej dodatniej \( \displaystyle n \) zachodzi warunek:
\[ \displaystyle a_{n+1} \lt a_n \]
co jest równoważne stwierdzeniu: \( \displaystyle a_{n+1} - a_n \lt 0 \).
Przykład:
Rozważmy ciąg \( \displaystyle a_n = 4 - 2n \).
Wypiszmy kilka początkowych wyrazów: \( \displaystyle a_1 = 2, \,\, a_2 = 0, \,\, a_3 = -2, \,\, a_4 = -4, \dots \)
Widzimy, że wartości maleją. Sprawdźmy to za pomocą definicji:
\( \displaystyle a_{n+1} - a_n = (4 - 2(n + 1)) - (4 - 2n) = 4 - 2n - 2 - 4 + 2n = -2 \)
Ponieważ \( \displaystyle -2 \lt 0 \), ciąg jest malejący.
Definicja (Ciąg stały)
Ciąg \( \displaystyle (a_n) \) nazywamy stałym, jeżeli dla każdej liczby naturalnej dodatniej \( \displaystyle n \) zachodzi warunek:
\[ \displaystyle a_{n+1} = a_n \]
co jest równoważne stwierdzeniu: \( \displaystyle a_{n+1} - a_n = 0 \).
Przykład:
Rozważmy ciąg \( \displaystyle a_n = 3 \).
Wypiszmy kilka początkowych wyrazów: \( \displaystyle a_1 = 3, \,\, a_2 = 3, \,\, a_3 = 3, \,\, a_4 = 3, \dots \)
Różnica: \( \displaystyle a_{n+1} - a_n = 3 - 3 = 0 \). Ciąg jest stały.
Twierdzenie (o ilorazie wyrazów ciągu)
Jeżeli wszystkie wyrazy ciągu \( \displaystyle (a_n) \) są dodatnie, to:
- Jeżeli \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 \), to ciąg jest rosnący.
- Jeżeli \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1 \), to ciąg jest malejący.
- Jeżeli \( \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 \), to ciąg jest stały.
Ważna uwaga
Ciągi, które nie spełniają powyższych warunków (np. ich wyrazy na zmianę rosną i maleją, jak w ciągu \( \displaystyle a_n = (-1)^n \)), nazywamy ciągami niemonotonicznymi.
MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU - ZADANIA
Zadanie 1
Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle a_n = 2n \) jest rosnący.
Rozwiązanie
Zadanie 2
Wykaż, korzystając z definicji, że ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle a_n = \frac{n}{n+1} \) jest rosnący.
Rozwiązanie
Zadanie 3
Wykaż, korzystając z definicji, że ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle a_n = 10 - 3n \) jest malejący.
Rozwiązanie
Zadanie 4
Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle a_n = (-1)^n \).
Rozwiązanie
Zadanie 5
Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle a_n = \frac{3^n}{n!} \) jest malejący dla \( n \geq 3 \).
Rozwiązanie
Zadanie 6
Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym \( \displaystyle a_n = n^2 - 3n \).
Rozwiązanie
