CIĄG GEOMETRYCZNY - DEFINICJA

Definicja (Ciąg geometryczny)

Ciąg liczbowy nazywamy geometrycznym, jeżeli każdy jego kolejny wyraz (z wyjątkiem pierwszego) powstaje poprzez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę \( \displaystyle q \). \[ \displaystyle a_{n+1} = a_n \cdot q \]

Zakłada się ponadto, że ciąg geometryczny musi składać się co najmniej z trzech wyrazów.

Definicja (ilorazu ciągu geometrycznego)

Liczbę \( \displaystyle q \) nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Możemy ją obliczyć, dzieląc dowolny wyraz (różny od zera) przez wyraz go poprzedzający: \[ \displaystyle q = \frac{a_{n+1}}{a_n} \]

Przykłady ciągów geometrycznych:

• \( \displaystyle 2, 6, 18, 54, \dots \) (tutaj \( \displaystyle q = 3 \))

• \( \displaystyle 100, 50, 25, 12.5, \dots \) (tutaj \( \displaystyle q = \frac{1}{2} \))

• \( \displaystyle 5, -10, 20, -40, \dots \) (tutaj \( \displaystyle q = -2 \))

Twierdzenie (Monotoniczność ciągu geometrycznego)

Monotoniczność ciągu geometrycznego zależy od ilorazu \( \displaystyle q \) oraz od znaku pierwszego wyrazu \( \displaystyle a_1 \):

1. Ciąg jest rosnący, gdy:

• \( \displaystyle a_1 > 0 \) i \( \displaystyle q > 1 \) (np. \( 2, 4, 8 \dots \))
• \( \displaystyle a_1 < 0 \) i \( \displaystyle 0 < q < 1 \) (np. \( -10, -5, -2.5 \dots \))

2. Ciąg jest malejący, gdy:

• \( \displaystyle a_1 > 0 \) i \( \displaystyle 0 < q < 1 \) (np. \( 10, 5, 2.5 \dots \))
• \( \displaystyle a_1 < 0 \) i \( \displaystyle q > 1 \) (np. \( -2, -4, -8 \dots \))

3. Ciąg jest stały, gdy:

• \( \displaystyle q = 1 \) (wszystkie wyrazy są identyczne)

4. Ciąg nie jest monotoniczny (naprzemienny), gdy:

• \( \displaystyle q < 0 \) (wyrazy zmieniają znak co jeden, więc ciąg nie jest monotoniczny)

Krótki komentarz:
Ciąg geometryczny to dyskretna (punktowa) wersja funkcji wykładniczej.
Gdybyśmy narysowali wykres ciągu o dodatnich wyrazach i ilorazie \( \displaystyle q \neq 1 \), wszystkie punkty leżałyby na krzywej zwanej linią wykładniczą.