WZÓR NA N-TY WYRAZ CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
Aby wyznaczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego, nie musimy znać wszystkich wyrazów go poprzedzających.
Wystarczy znajomość pierwszego wyrazu \( \displaystyle a_1 \) oraz ilorazu \( \displaystyle q \).
Twierdzenie (Wzór ogólny ciągu geometrycznego)
Wzór na \( \displaystyle n \)-ty wyraz ciągu geometrycznego \( \displaystyle (a_n) \) o ilorazie \( \displaystyle q \) ma postać:
\[ \displaystyle a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]
gdzie:
\( \displaystyle a_1 \) – pierwszy wyraz ciągu,
\( \displaystyle n \) – numer wyrazu, który chcemy obliczyć (\( \displaystyle n \in \mathbb{N}_+ \)),
\( \displaystyle q \) – iloraz ciągu.
Wzór ten wykorzystuje potęgowanie. Dzięki niemu możemy błyskawicznie obliczyć dowolnie odległy wyraz, o ile znamy podstawę i tempo wzrostu ciągu.
Skąd się wziął ten wzór? (Intuicja)
Spójrzmy na kolejne wyrazy:
\( \displaystyle a_1 = a_1 \)
\( \displaystyle a_2 = a_1 \cdot q \)
\( \displaystyle a_3 = a_2 \cdot q = (a_1 \cdot q) \cdot q = a_1 \cdot q^2 \)
\( \displaystyle a_4 = a_3 \cdot q = (a_1 \cdot q^2) \cdot q = a_1 \cdot q^3 \)
Zauważ, że wykładnik potęgi ilorazu \( \displaystyle q \) jest zawsze o jeden mniejszy niż numer wyrazu, który obliczamy.
Stąd we wzorze bierze się zapis \( \displaystyle n-1 \) w potędze.
Przykład zastosowania:
Mamy ciąg: \( \displaystyle 3, 6, 12, 24, \dots \) Chcemy obliczyć wyraz dziesiąty (\( \displaystyle a_{10} \)).
Dane: \( \displaystyle a_1 = 3 \), \( \displaystyle q = 2 \).
\( \displaystyle a_{10} = 3 \cdot 2^{10 - 1} = 3 \cdot 2^9 = 3 \cdot 512 = 1536 \).
Twierdzenie (Własność trzech sąsiednich wyrazów)
Jeżeli trzy kolejne liczby dodatnie \( \displaystyle a, b, c \) tworzą ciąg geometryczny, to kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych (środkowy wyraz jest średnią geometryczną):
\[ \displaystyle b^2 = a \cdot c \quad \text{czyli} \quad b = \sqrt{a \cdot c} \]
Dowód:
Jeżeli liczby \( \displaystyle a, b, c \) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to iloraz ciągu możemy zapisać następująco:
\( \displaystyle q = \frac{b}{a} \) oraz \( \displaystyle q = \frac{c}{b} \)
Przyrównujemy obie wartości do siebie:
\( \displaystyle \frac{b}{a} = \frac{c}{b} \)
\( \displaystyle b \cdot b = a \cdot c \)
\( \displaystyle b^2 = a \cdot c \)
