CIĄGI LICZBOWE WPROWADZENIE - ZADANIA
Zadanie 8
Sprawdź, czy liczba \( \displaystyle 6 \) jest wyrazem ciągu o wzorze ogólnym \( \displaystyle a_n = n^2 + n \)
Rozwiązanie
Przyrównujemy wzór ogólny ciągu do liczby \( \displaystyle 6 \):
\( \displaystyle n^2 + n = 6 \)
Przenosimy wszystko na jedną stronę, aby otrzymać równanie kwadratowe:
\( \displaystyle n^2 + n - 6 = 0 \)
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego (\( \displaystyle \Delta \)):
\( \displaystyle \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = 5 \)
Wyznaczamy pierwiastki równania:
\( \displaystyle n_1 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
\( \displaystyle n_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Weryfikujemy wyniki z definicją ciągu:
Wiemy, że \( \displaystyle n \) musi być liczbą naturalną dodatnią (\( \displaystyle n \in \{1, 2, 3, \dots\} \)).
Liczba \( \displaystyle n_1 = -3 \) nie spełnia tego warunku. Jedynym poprawnym rozwiązaniem jest \( \displaystyle n = 2 \).
Odpowiedź
Liczba \( \displaystyle 6 \) jest wyrazem ciągu \( \displaystyle a_n = n^2 + n \). Jest to drugi wyraz tego ciągu (\( \displaystyle a_2 \)).
