Definicja (ogólny wyraz ciągu)
Wzór \(\large a_n\) nazywamy ogólnym wyrazem ciągu lub wzorem na n-ty wyraz ciągu.
Ogólny wyraz ciągu może być oznaczony inną literą np. \(b_n\) \(c_n\) \(d_n\) itd.
CIĄGI LICZBOWE WPROWADZENIE
Ciąg liczbowy jak sama nazwa wskazuje jest to ciąg liczb, ale liczby te są uporządkowane.
Przykłady
\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...\) - ciąg liczb naturalnych
\(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...\) - ciąg liczb parzystych
\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...\) - ciąg liczb pierwszych
\(\displaystyle\frac12, \frac13, \frac14, \frac15, \frac16, \frac17, \frac18, \frac19, ...\) - ciąg ułamków
\(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ...\) - ciąg dwójek
\(1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1 ...\) - ciąg naprzemienny liczb \(1\, -1\)
Zauważmy, że każdy wyraz ciągu (liczba w ciągu) ma swoje określone miejsce.
Miejsce w ciągu oznaczamy literą \(a\) z indeksem dolnym \(n\) : czyli \(a_n\) gdzie \(n=1,2,3,4,5,6,...\) jest liczbą naturalną.
Liczba w indeksie informuje nas na którym miejscu stoi dany wyraz ciągu.
Miejsce w ciągu oznaczamy literą \(a\) z indeksem dolnym \(n\) : czyli \(a_n\) gdzie \(n=1,2,3,4,5,6,...\) jest liczbą naturalną.
Liczba w indeksie informuje nas na którym miejscu stoi dany wyraz ciągu.
Przykład
Ciąg liczb parzystych
Często zdarza się, że dany ciąg liczbowy możemy opisać za pomocą wzoru.
Jeśli we wzorze tym w miejsce n będziemy podstawiać kolejne liczby naturalne \(n=1,2,3,4,5,6,...\) uzyskamy ciąg liczbowy.
Jeśli we wzorze tym w miejsce n będziemy podstawiać kolejne liczby naturalne \(n=1,2,3,4,5,6,...\) uzyskamy ciąg liczbowy.
Przykład
Wzór \(a_n=n\) tworzy ciąg liczb naturalnych \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...\)
Wzór \(a_n=2n\) tworzy ciąg liczb parzystych \(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...\)
Na ciąg liczb pierwszych nie posiadamy takiego wzoru.
Wzór \(a_n=\frac1n\) tworzy ciąg ułamków \(\displaystyle\frac12, \frac13, \frac14, \frac15, \frac16, \frac17, \frac18, \frac19, ...\)
Wzór \(a_n=2\) tworzy ciąg dwójek \(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 ...\)
Wzór \(a_n=(-1)^{(n+1)}\) tworzy ciąg naprzemienny liczb \(1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1 ...\)
Zauważmy, że w ciągu każdej liczbie naturalnej została przyporządkowana pewna liczba rzeczywista.
Takie przyporządkowanie nazywamy funkcją, zatem możemy też zapisać, żę: \[\large a_n=f(n)=f_n\] gdzie \(n\in \mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}\)
Takie przyporządkowanie nazywamy funkcją, zatem możemy też zapisać, żę: \[\large a_n=f(n)=f_n\] gdzie \(n\in \mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}\)
Definicja (ciągu liczbowego)
Ciągiem liczbowym - nazywamy funkcję, której dziedzina jest zbiór liczb naturalnych i przyjmująca wartości w zbiorze liczb rzeczywistych.
\[\large f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\] co czytamy: funkcja \(f\) przekształca zbiór liczb naturalnych \(\mathbb{N}\) w zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\)dziedzina funkcji - \(\mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}\)
wartości funkcji - \(\mathbb{R}\)
CIĄGI LICZBOWE WPROWADZENIE - ZADANIA
Zadanie 1
Ciąg dany jest wzorem ogólnym \( \displaystyle a_n = 3n + 2 \). Oblicz pierwszy i szósty wyraz tego ciągu. Zadanie 2
Ciąg dany jest wzorem \( \displaystyle a_n = \frac{n^2}{n + 4} \). Oblicz wyrazy \( \displaystyle a_1 \) oraz \( \displaystyle a_6 \). Zadanie 3
Ciąg dany jest wzorem \( \displaystyle a_n = (-1)^n \cdot (n + 1) \). Oblicz wyrazy \( \displaystyle a_4 \) oraz \( \displaystyle a_5 \). Zadanie 4
Ciąg dany jest wzorem \( \displaystyle a_n = \frac{n! + 1}{n^2} \). Oblicz wyrazy \( \displaystyle a_2 \) oraz \( \displaystyle a_3 \). Zadanie 5
Ciąg dany jest wzorem ogólnym \( \displaystyle a_n = |5 - 2n| \). Oblicz drugi oraz piąty wyraz tego ciągu. Zadanie 6
Ciąg dany jest wzorem ogólnym \( \displaystyle a_n = 4n - 7 \). Sprawdź, który wyraz tego ciągu jest równy \( \displaystyle 13 \). Zadanie 7
Sprawdź, czy liczba \( \displaystyle 10 \) jest wyrazem ciągu o wzorze ogólnym \( \displaystyle a_n = 3n + 2 \). Zadanie 8
Sprawdź, czy liczba \( \displaystyle 6 \) jest wyrazem ciągu o wzorze ogólnym \( \displaystyle a_n = n^2 + n \)