MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU - ZADANIA
Zadania 1
Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym \( a_n = 2n \) jest rosnący.
Rozwiązanie
Najpierw zapisujemy wzory na dwa kolejne wyrazy ciągu:
\( a_n = 2n \)
Wyraz \(a_{n+1}\) otrzymujemy, podstawiając \((n+1)\) w miejsce \(n\):
\( a_{n+1} = 2(n + 1) = 2n + 2\)
Badamy różnicę \( a_{n+1} - a_n \):
\( a_{n+1} - a_n = (2n + 2) - 2n = 2 \)
Formułujemy wniosek:
Ciąg liczbowy jest rosnący, jeżeli dla każdego \( n \in \mathbb{N}_+ \) zachodzi nierówność \( a_{n+1} - a_n > 0 \).
Ponieważ różnica wynosi \( 2 \), co jest wartością większą od zera (\( 2 > 0 \)), to ciąg jest rosnący.
Odpowiedź
Ciąg \( a_n = 2n \) jest rosnący, ponieważ dla każdego \( n \) zachodzi warunek \( a_{n+1} - a_n > 0 \).
