MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU - ZADANIA
Zadanie 2
Wykaż, korzystając z definicji, że ciąg o wyrazie ogólnym \( a_n = \frac{n}{n+1} \) jest rosnący.
Rozwiązanie
Zapisujemy wzór na wyraz ogólny oraz wyznaczamy wyraz następny \( a_{n+1} \):
\( a_n = \frac{n}{n+1} \)
\( a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n+1}{n+2} \)
Badamy różnicę \( a_{n+1} - a_n \), sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika:
\( a_{n+1} - a_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1} \)
\( a_{n+1} - a_n = \frac{(n+1)(n+1) - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} \)
Wykonyjemy mnożenie w liczniku i upraszczamy wyrażenie:
\( a_{n+1} - a_n = \frac{(n^2 + 2n + 1) - (n^2 + 2n)}{(n+2)(n+1)} \)
\( a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+2)(n+1)} \)
Analizujemy znak otrzymanego wyniku:
Dla \( n \in \mathbb{N}_+ \), licznik jest równy \( 1 \) (dodatni), a mianownik \( (n+2)(n+1) \) jest zawsze dodatni.
Zatem: \( \frac{1}{(n+2)(n+1)} > 0 \)
Powołujemy się na definicję monotoniczności:
Ponieważ dla każdego \( n \in \mathbb{N}_+ \) zachodzi \( a_{n+1} - a_n > 0 \), warunek definicji ciągu rosnącego jest spełniony.
Odpowiedź
Ciąg \( a_n = \frac{n}{n+1} \) jest rosnący, ponieważ różnica \( a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+2)(n+1)} \) przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie dla liczb naturalnych dodatnich.
