MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU - ZADANIA
Zadanie 6
Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym \( \displaystyle a_n = n^2 - 3n \).
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczamy wzór na wyraz następny \( \displaystyle a_{n+1} \), podstawiając \( \displaystyle (n+1) \) w miejsce każdego \( \displaystyle n \):\( \displaystyle a_{n+1} = (n+1)^2 - 3(n+1) \)
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i upraszczamy wyrażenie:
\( \displaystyle a_{n+1} = n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 = n^2 - n - 2 \)
Badamy różnicę \( \displaystyle a_{n+1} - a_n \):
\( \displaystyle a_{n+1} - a_n = (n^2 - n - 2) - (n^2 - 3n) \)
\( \displaystyle a_{n+1} - a_n = n^2 - n - 2 - n^2 + 3n \)
\( \displaystyle a_{n+1} - a_n = 2n - 2 \)
\( \displaystyle a_{n+1} - a_n = (n^2 - n - 2) - (n^2 - 3n) \)
\( \displaystyle a_{n+1} - a_n = n^2 - n - 2 - n^2 + 3n \)
\( \displaystyle a_{n+1} - a_n = 2n - 2 \)
Analizujemy znak otrzymanej różnicy dla \( \displaystyle n \in \mathbb{N}_+ \):
Dla \( \displaystyle n=1 \):
\( \displaystyle 2(1) - 2 = 0 \)
Dla \( \displaystyle n > 1 \):
\( \displaystyle 2n - 2 > 0 \)
Dla \( \displaystyle n=1 \):
\( \displaystyle 2(1) - 2 = 0 \)
Dla \( \displaystyle n > 1 \):
\( \displaystyle 2n - 2 > 0 \)
Ponieważ dla każdego \( \displaystyle n \geq 2 \) zachodzi \( \displaystyle a_{n+1} - a_n > 0 \), to ciąg od drugiego wyrazu jest rosnący.
Odpowiedź
Ciąg \( \displaystyle a_n = n^2 - 3n \) jest rosnący dla \( \displaystyle n \geq 2 \). Różnica wyrazów wynosi \( \displaystyle 2n - 2 \) i jest dodatnia dla wszystkich liczb naturalnych większych od 1.