MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU - ZADANIA
Zadanie 5
Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym \( a_n = \frac{3^n}{n!} \) jest malejący dla \( n \geq 3 \).
Rozwiązanie
W przypadku ciągu z potęgami i silnią, najwygodniej jest skorzystać z twierdzenia o ilorazie. Zapisujemy wyrazy \(\displaystyle a_n \) oraz \( a_{n+1} \):
\(\displaystyle a_n = \frac{3^n}{n!} \)
\( \displaystyle a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \)
Badamy iloraz \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \), pamiętając, że dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} \)
Upraszczamy potęgi trójki oraz rozpisujemy silnię \( (n+1)! = n! \cdot (n+1) \):
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^n \cdot 3}{n! \cdot (n+1)} \cdot \frac{n!}{3^n} \)
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{n+1} \)
Odwołujemy się do twierdzenia (o ilorazie):
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1 \)
Wówczas ciąg jest malejący, sprawdzamy dla jakich \( n \) zachodzi ten warunek:
\(\displaystyle \frac{3}{n+1} \lt 1 \implies 3 \lt n+1 \implies n> 2 \)
Odpowiedź
Dla \( n \geq 3 \) iloraz \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \) jest mniejszy od jedności, zatem na mocy twierdzenia o ilorazie, ciąg \(\displaystyle a_n = \frac{3^n}{n!} \) jest w tym przedziale malejący.
